内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:04:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
立体几何专题
1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知:?内两条相交直线都与?平行是?∥?的充分条件,由面面平行性质定理知,若?∥?,则?内任意一条直线都与?平行,所以?内两条相交直线都与?平行是?∥?的必要条件,故选B.
【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若a??,b??,a∥b,则?∥?”此类的错误.
2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 【答案】B
【解析】如图所示,作EO?CD于O,连接ON,BD,易得直线BM,EN 是三角形EBD的中线,是相交直线.
过M作MF?OD于F,连接BF,
平面CDE?平面ABCD,EO?CD,EO?平面CDE,?EO?平面ABCD,MF?平面ABCD,
?△MFB与△EON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知EO?3,ON?1,EN?2,MF?35,BF?,?BM?7,?BM?EN,故选B. 22
【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题.
3.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm)是
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A.158 C.182 【答案】B
B.162 D.324
【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,
下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为?故选B.
4?6??2?6?3??3??6?162. 22??【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体——棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体积,常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二,一是不能正确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算.
4.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P–AC–B的平面角为γ,则 A.β<γ,α<γ
B.β<α,β<γ D.α<β,γ<β
C.β<α,γ<α 【答案】B
【解析】如图,G为AC中点,连接VG,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直于AC于E,连接PE,BD,易得PE∥VG,过P作PF∥AC交VG于F,连接BF,过D作DH∥AC,交BG于H,则???BPF,???PBD,???PED,结合△PFB,△BDH,△PDB均为直角三角形,可得cos??PFEGDHBD????cos?,即???;在Rt△PED中,PBPBPBPBtan??PDPD??tan?,即???,综上所述,答案为B. EDBD
【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角,未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.
5.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,
BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为___________.
【答案】2
【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO?平面ABC,连接CO, 由题意可知CD?PD,CD?PO,PDPO=P,
\\CD^平面PDO,又OD?平面PDO,?CD?OD,
PD?PE?3,PC?2,?sin?PCE?sin?PCD???PCB??PCA?60?,
又易知PO?CO,CO为?ACB的平分线,
3, 2??OCD?45?,?OD?CD?1,OC?2,
又PC?2,?PO?4?2?2.
【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到P在底面上的射影,使用线面垂直定理,得到垂直关系,利用勾股定理解决.注意画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题则很难解决,将几何体摆放成正常视角,是立体几何问题解决的有效手段,几何关系利于观察,解题事半功倍.
6.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)
【答案】26,2?1
【解析】由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18?8?26个面.
如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB?BE?x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的棱于H,由半正多面体对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,
?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?1, 22?x?1?2?1, 2?1即该半正多面体的棱长为2?1.
【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形. 7.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方
体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g.
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