经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)

内容发布更新时间 : 2025/7/8 23:20:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第八章 多元函数的微分法及其应用

习题 8-1

1. 指出下列平面位置的特殊性质:

(1)2x?3y?20?0 (2)3x?2?0

(3)4y?7z?0 (4)x?y?z?0 解 (1)因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.

(2)因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.

(3)因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点(0,0,0). (4)因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点(0,0,0).

2. 求下列轨迹的方程:

(1)与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;

(2)与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; (3)与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;

(4)与yz平面的距离为4,且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z),则

(1)点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?3)2?(y?0)2?(z?2)2?4 x2?y2?z2?6x?4z?3?0.

(2)动点M(x,y,z)与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于

2a,即

(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?2a

整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(a2?c2)x2?a2y2?a2z2?a2(a2?c2)?0.

(3) 动点M(x,y,z)与z轴和点(1,3,?1)等距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?1)2?(y?3)2?(z?1)2?x2?y2 z2?2x?6y?2z?11?0.

(4) 由动点M(x,y,z)与yz平面的距离为4,得|x|?4, 由动点M(x,y,z)与点(5,2,?1)的距离为3, 得

(x?5)2?(y?2)2?(z?1)2?3

x?4??22(y?2)?(z?1)?8. M(x,y,z)?故点的轨迹为

3. 求下列各曲面的方程:

(1) 中心在点(?1,?3,2)且通过点(1,?1,1)的球面方程;

1

(2) 过点(2,1,?1)而在x轴和y轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz平面并过点(2,-5,3)的平面方程;

(4) 一动点与点(1,0,0)的距离是与平面x?4的距离之一半,求该

动点之方程.

解 (1)设(x,y,z)为所求球面上的任意一点且球面半径为R,则 将点(1,?1,1)代入上式,得R?3. 故所求球面方程为 (2)设所求的平面方程为

Ax?By?Cz?D?0 (*)

将点(2,0,0),(0,1,0),(2,1,?1)代入上式,得

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?R2

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?9.

2A?D?0??B?D?0??2A?B?C?D?0?

解得A??0.5D,B??D,C??D. 代入方程(*)整理得平面方程为

x?2y?2z?2?0.

(3)设所求平面方程为

By?D?0 (**)

将点(2,?5,3)代入上式,得D?

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