内容发布更新时间 : 2025/7/8 23:20:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第八章 多元函数的微分法及其应用
习题 8－1
1. 指出下列平面位置的特殊性质：
（1）2x?3y?20?0 （2）3x?2?0
（3）4y?7z?0 （4）x?y?z?0 解 （1）因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.
（2）因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.
（3）因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.
2. 求下列轨迹的方程：
（1）与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;
（2）与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; （3）与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;
（4）与yz平面的距离为4，且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z)，则
（1）点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为
(x?3)2?(y?0)2?(z?2)2?4 x2?y2?z2?6x?4z?3?0.
（2）动点M(x,y,z)与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于
2a，即
(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?2a
整理得动点M(x,y,z)的轨迹为
(a2?c2)x2?a2y2?a2z2?a2(a2?c2)?0.
(3) 动点M(x,y,z)与z轴和点(1,3,?1)等距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为
(x?1)2?(y?3)2?(z?1)2?x2?y2 z2?2x?6y?2z?11?0.
(4) 由动点M(x,y,z)与yz平面的距离为4，得|x|?4， 由动点M(x,y,z)与点(5,2,?1)的距离为3, 得
(x?5)2?(y?2)2?(z?1)2?3
x?4??22(y?2)?(z?1)?8. M(x,y,z)?故点的轨迹为
3. 求下列各曲面的方程：
(1) 中心在点(?1,?3,2)且通过点(1,?1,1)的球面方程;
1
(2) 过点(2,1,?1)而在x轴和y轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz平面并过点（2，-5，3）的平面方程;
(4) 一动点与点(1,0,0)的距离是与平面x?4的距离之一半，求该
动点之方程.
解 （1）设(x,y,z)为所求球面上的任意一点且球面半径为R，则 将点(1,?1,1)代入上式，得R?3. 故所求球面方程为 （2）设所求的平面方程为
Ax?By?Cz?D?0 （*）
将点(2,0,0),(0,1,0),(2,1,?1)代入上式，得
(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?R2
(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?9.
2A?D?0??B?D?0??2A?B?C?D?0?
解得A??0.5D,B??D,C??D. 代入方程（*）整理得平面方程为
x?2y?2z?2?0.
（3）设所求平面方程为
By?D?0 （**）
将点(2,?5,3)代入上式，得D?