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实 验 报 告
课程名称 数值分析 解线性方程组 上机 20111131 张振 理学楼407 预习部分 实验过程 表现 实验学时 学号 指导教师 实验时间 实验报告 部分 日期 4 2011113130 沈艳 2013.12.9 总成绩 实验项目名称 实验类型 班级 姓名 实验室名称 实验成绩 教师签字
哈尔滨工程大学教务处 制
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实验四 解线性方程组
一．解线性方程组的基本思想 1．直接三角分解法：
将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。 2．平方根法：
如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：A=LL^T。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法（Cholesky）分解。 3．追赶法：
设系数矩阵为三对角矩阵
?b1??a2?0A????0??0?c1b2a3000c2b300000000an?1bn?10an0??0?0?? ?cn?1??bn??则方程组Ax=f称为三对角方程组。
设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记
?b1???2?0 L????0??0?000000?2?300?300?n?1?n0??0?0??,?0???n???1?10??01?2?001U????000??000?00000??0?0?? ??n?1??1??可先依次求出L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f得出y，再求解上三角
方程组Ux=y。
4．雅克比迭代法：
首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
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之后确定迭代格式，X(k?1) = BX(k) +f ，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k = 0,1，......）再选取初始迭代向量X(0)，开始逐次迭代。
5．超松弛迭代法（SOR）
它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。 选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵
M＝
1（D－?L）， ?其中?＞0 为可选择的松弛因子，一般当1
1．(第五章习题8)用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle）分解）求线性方程组
111x1 +x2 +x3= 9， 456111x1 +x2 +x3= 8，
4531x1 + x2 +2x3= 8 2的解。
2．(第五章习题9)用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中
?1??2?1000??????0???12?100?A=?0?12?10?，b=?0?.
?????0??00?12?1??0??000?12?????3．（第五章习题10）用改进的平方根法解线性方程组
?2?11??x1??4????????1?23x = ???2??5? ?1???6?31????x3???4．（第六章习题7）用SOR方法解线性方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，
ω=1.1）
4x1 - x2 = 1， -x1 +4x2- x3= 4，
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-x2 +4x3= -3.
11，1，-）T.要求当x*?x(k)?