内容发布更新时间 : 2025/3/20 9:23:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高等数学习题解答
（第五章 定积分）
惠州学院 数学系
1
习 题 5.1 1．证：kb?af(x)dx?klim?f(?)?xi?lim?kf(?)?xi??kf(x)dx
??0i?12nnb??0i?1a2．解：（1）令f(x)?1?sinx，则f‘(x)?2sinxcosx?sin2x?0 得驻点：x1? 由f()?2,?2,x2??,
?3f()?,242 得 minf(x)?1,maxf(x)?2
f(?)?1,5?4??3f()?， 42由性质，得 ????f(x)dx?2?
x?0， 21?x4（2）令f(x)?xarctanx，f‘(x)?arctanx? 所以f(x)在[3?3，3]上单调增加，?minf(x)?,maxf(x)??，33633333， （3?）??3xarctanxdx??（3?）3336333?2 即 ??3xarctaxndx??
933??3．解：（1）当0?x?1时，有x?x，且x?x不恒等于0，
3232??（x2?x3）dx?0，即
01?10x2dx??x2dx。
01（2）当0?x?1?6时，有sinx?x，且x?sinx不恒等于0，
??（x?sinx）dx?0，即
0?xdx??sinxdx。
0010111（3）令f(x)?x?ln(1?x)，则f‘(x)?1?1x??0(0?x?1)， 1?x1?x所以f(x)在[0,1]上单调增加，?f(x)?x?ln(1?x)?f(0)?0， 且x?lnx不恒等于0(0?x?1)，所以
?xdx??ln1(?x)dx
0（4）令f(x)?ex?(1?x)，则f‘(x)?ex?1?0(0?x?1)，
所以f(x)在[0,1]上单调增加，?f(x)?ex?(1?x)?f(0)?0， 且e?(1?x)不恒等于0(0?x?1)，所以
2xx2x?10exdx??(1?x)dx
014.解：在?0,1?区间内：x?x?e?e，由比较定理： 5. 证明：考虑??? 1 0edx?x? 1 0edx
x2??12,1??x2y?e上的函数，则 ?2?2y???2xe?x，令y??0得x?0
当x?????1?,0?时，y??0 2? 2
当x??0,??1??时，y??0 2??x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e121?212在x??121122处取最小值e?12.
故
??212edx???e?xdx??21?2121dx，即2e????212e?xdx?2。
111π?12π26.解：平均值??1?xdx???.
1?(?1)??1224
习 题 5.2 1. 解：（1）?sinxdx??cosxx（2）?10xedx?2π20π20?1.
x2111x2e?0ed(x2)?22π20?0e?1. 2π2（3）?sin(2x?π)dx=
π2011sin(2x?π)d(2x?π)=?cos(2x?π)=?1. ?220e(4) </