概率论的基本概念

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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第一章概率论基本概念第 1 页共 8 页

第一章概率论的基本概念

【内容提要】

一、随机事件及其运算关系

1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。

2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点: ⑴.可以在相同条件下重复进行；

⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。

3．样本空间对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用?表示，并称???为样本点。 4．随机事件设?是随机试验E的样本空间，而F(?)?AA是?的某些子集，且满足: ⑴.??F(?)；

⑵.?A?F(?),有A???A?F(?)； ⑶.?Ak?F(?),k?1,2,...,有

1?k??????Ak?F(?)。

则称F(?)是随机试验E的事件域，而称A?F(?)为随机事件。注:设A为随机事件，则

⑴.A发生??包含于A中的任一样本点?发生； ⑵.必然事件即样本空间?，而不可能事件即空集?。

5．随机事件的运算关系设A,B,Ak,k?1,2,...,n为随机事件，则

⑴．事件的包含关系:A?B??事件A发生时一定会导致事件B发生?????A,有??B； ⑵．事件的相等关系:A?B??A?B且B?A????A当且仅当??B；

⑶．事件的和运算:A?B????A或??B??A?B发生当且仅当A,B中至少发生其一，

??1?k?n?Ak???存在1?k?n,??Ak????Ak发生当且仅当A1,A2,...,An中至少发生其一；

1?k?n⑷．事件的积运算:A?B????A且??B??A?B发生当且仅当A,B同时发生，

??1?k?n?Ak????1?k?n,??Ak????Ak发生当且仅当A1,A2,...,An同时发生；

1?k?n1?k?n 积事件还可将?省略，直接表示为

?Ak?A1A2???An；

⑸．事件的差运算:A?B????A但??B??(A?B)发生当且仅当A发生而B不发生； ⑹．事件的互斥关系:A与B互斥??AB????A与B不能同时发生；

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⑺．事件的对立关系:A与B对立??AB??且A?B??，这时记B?A???A。

若?1?i?j?n，有AiAj??，则称A1,A2,???,An两两互斥，这时，它们的和事件可表为:

1?k?n?Ak??Ak?A1?A2?????An。

1?k?n注:事件的运算关系具有如下性质: ⑴．交换律: A?B?B?A,AB?BA；

⑵．结合律: (A?B)?C?A?(B?C),(AB)C?A(BC)； ⑶．分配律: (1?k?n?Ak)?B??(Ak?B),(?Ak)B??(AkB)；

1?k?n1?k?n1?k?n⑷．德摩根律: (A1?A2?????An)?A1A2???An,(A1A2???An)?A1?A2?????An。二、随机事件的频率与概率

1．随机事件的频率设在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，则称wn(A)?次试验中事件A发生的频率。事件的频率具有如下性质: ⑴．非负性: ?A?F(?)，有0?wn(A)?1； ⑵．规范性: wn(?)?0,wn(?