内容发布更新时间 : 2025/7/24 12:21:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量；
22(x,x,x)?(x,x?x,x)； 12312333） 在P中，A
34） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；
35） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1) ；
6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???。
8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是。 2)当??0时,是;当??0时,不是。
3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?)。
4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)
=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1) = A?+ A?， A(k?)? A(kx1,kx2,kx3)
n?nn?n?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) = kA(?)，
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故A是P上的线性变换。
5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令
u(x)?f(x)?g(x)则
A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x))， 再令v(x)?kf(x)则A(kf(x))? A(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则.
A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x))， A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a)。 8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY，
A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是Pn?n上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,AB?BA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)， 所以A=B=C=E。
2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB?BA。
3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A