内容发布更新时间 : 2025/7/8 3:48:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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2）两个自反的（对称的）关系的并将是自反的（对称的），但是，两个传递关系的并却未必是传递的。我们就从破坏传递性出发来构造反例： 令R1={（a，a），（b，b），（c，c），（a，b），（b，a）} R2={（a，a），（b，b），（c，c），（b，c），（c，b）} 当A={a，b，c}时，R1，R2显然都是等价关系。但是
R1∪R2={（a，a），（b，b），（c，c），（a，b），（b，a）（b，c），（c，b）}都不是A上的等价关系，因为R1∪R2不传递：（a，b）∈R1∪R2且（bc，但（a，c）?R1∪R2；同样（c，b）∈R1∪R2且（b，a）∈R1∪R2，但（c，a）?R1∪R2。
a a
c
b
b c b c
a
R1关系图 R2关系图 R1∪R2关系图
而且|A|不可能再少了。因为任何少于3个元素的集合上的自反，对称关系一定是传递的！
26．设R是A上的等价关系，将A的元素按R的等价类顺序排列，请指出此等价关
系R的关系矩阵MR有何特征？
[解] 将A的元素按其上的等价关系R的等价类顺序排列，这样产生的等价关系R的
关系矩阵MR，经过适当的矩阵分块，MR的分块矩阵将成为准对角阵，准对角阵的对角线上的每一块都是一个全1方阵，它正好对应于等价关系R的一个等价块。
27．设A是n个元素的有限集合，请回答下列问题，并阐明理由。
1） 有多少个元素在A上的最大的等价关系中？ 2） A上的最大的等价关系的秩是多少？ 3） 有多少个元素在A上的最小的等价关系中？ 4） A上的最小的等价关系的秩是多少？
[答] 1）A上最大的等价关系是全关系R1=A×A={（a，b）|a∈A∧b∈A}因此有n2
个元素在A上的最大的等价关系R1中，因为所有n2个二元组都在R1=A×A中。
2）A上的最大的等价关系R1的秩是1。这是因为A中任何两个元素都有全关系
.
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R1=A×A，因此R1的等价块包含了A的所有元素，A的所有元素都在同一个等价块中。
3）A上的最小的等价关系是么关系R2=IA={（a，a）a∈A}因此它中有n个元素，即n自反对。
4）A上的最小的等价关系的秩是n，因为么关系的每一个元素都自成一个等价
块，每一等价块中也只有一个元素。
28．设R1和R2是非容集合A上的等价关系，对下列各种情况，指出哪些是A上的
等价关系；若不是，用例子说明。 1) A×A\\R1 2) R1\\R2
23) R1
4）r（R1\\R2） （R1\\R2的自反闭包） 5）R1?R2
[解] 1）不是。设A={a}，并且R1={（a，a）}，则R1是A上的等价关系，但A×
A\\R1={（a，a）\\（a，a）}=?就不是A上的等价关系，因为空关系不是自反的。
2）不是。设A={（a，b）}并且R1={（a，a），（b，b），（a，b），（b，a）}，
R2={（a，a），（b，b）}，则R1，R2都是A上的等价关系，但是，R1\\R2={（a，b），（b，a）}就不是A上的等价关系，因为R1\\R2不自反。 3）是。
证法一：因R1是等价关系，因而R1是传递的，故此由第12题之5）有R1= R1?R1?R1。另一方面，结任何（a，b）∈R1，由于R1是自反的，故此（b，b）∈R1，从而由复合关系之定义，有（a，b）∈R1?R1，所以R1?R1，从而R1=R1，因此由R1是等价关系，知R1也是等价关系。 证法二：
一方面，对任何a，b?A，(a,b)?R1
?(?c?A)((a