内容发布更新时间 : 2025/4/13 22:19:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
泛函分析知识总结与举例、应用
学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn（有限维空间）的推
广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)
与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）
3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）
则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称
为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度
量函数d1和d2，则我们认为(X, d1)和(X, d2)是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)
中的元素为“点” ，例如若x?X，则称为“X中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X” 。
1.1举例
1
1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y∈X，令
?1，当x?y，则称（X，d）为离散度量空间。 d?x，y?=??0，当x=y?1.12 序列空间S：S表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝?i?11i?i??i21??i??i；
1.13 有界函数空间B(A)：A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，
对B(A)中任意两点x,y，定义d(x,y)＝supx(t)?y(t)
t?A1.14 可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体。
d(f,g)=?1?xf(t)?g(t)f(t)?g(t)dt
1.15 C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数
全体，对C[a,b]中任意两点x,y，定义 d(x,y)＝maxx(t)?y(t)
a?t?b21.16 l：无限维空间（重要的度量空间） ★ 例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。
2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间
2.1 x0的?—领域：设（X，d）为度量空间，d是距离，定义
U?(x0,?)??x?X∣d(x,x0）＜??为x0的以?为半径的开球，亦称
为x0的?—领域。
注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外
点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。
2.2度量空间的收敛点列：设(X，d)是一个度量空间，（X，d）中点列,如果存在x?X，?xn?是
?xn?收敛于x，使limn??)xn?x，即d(xn,x)?0(n??，称点