内容发布更新时间 : 2024/12/25 22:28:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
x(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t) (6)
at存在唯一解。
证明：取连续函数空间C[a,b]，其上定义映射T：C[a,b?C[a,b]]为
(Tx)(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t)
at则方程（6）的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在[a,b]?[a,b]上连续，于是K(s,t)在
[a,b]?[a,b]有最大值，记为M，即
M?max?K(s,t)：(s,t)?[a,b]?[a,b]?
对任何两个连续函数x1(t),x2(t)，由于
(Tx1)(t)?(Tx2)(t)???taK(s,t)[x1(s)?x2(s)]ds
??M(t?a)maxx1(s)?xa?s?b2(s)??M(t?a)?(x1,x2)
(T2x1)(t)?(T2x2)(t)???t)[()]aK(s,tTx1)(s)?(Tx2)(sds
??2M2?(xt1,x2)?(s?a)ds
a?2M2(t?a)2 ?2?(x1,x2)
一般地，对自然数n，归纳可得
nnn(Tnxn1)(t)?(Tx2)(t)??M(t?a)n!?(x1,x2)
因此
?(Tnxnn1,Tx2)?max(Tx1)(t)?(Tnx?t?b2)(t)a
?n ?Mn(b?a)nn!?(x1,x2)
nnn注意到lim?M(b?a)n!?0，因此存在自然数n??n0，满足
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?n0Mn0(b?a)n0n0!?a?1
这说明Tn0是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点，亦即Volterra型积分方程（6）
有惟一解。
例4（隐函数存在定理） 设函数f(x,y)在带状域a?x?b,???y??中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y)。如果存在常数m和M，满足
0?m?fy(x,y)?M,m?M
''则方程f(x,y)?0在区间[a,b]上必有惟一的连续函数y??(x)作为解，即
f(x,?(x))?0,x?[a,b]
证明：在完备空间C[a,b]中作映射T，使对于任意的函数??C[a,b]，有
(T?)(x)??(x)?1Mf(x,?(x))
按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(T?)(x)也是连续的，即T??C[a,b]，故T是C[a,b]到C[a,b]的映射。现证T是压缩映射，??1,?2?C[a,b]由微分中值定理存在0???1使
(T?2)(x)?(T?1)(x)??2(x)?1Mf(x,?2(x))??1(x)?1Mf(x,?1(x))
??2(x)??1(x)?1Mfy[x,?1(x)??(?2(x)??1(x))]?(?2(x)??1(x))
mMmM'??2(x)??1(x)(1?)
又0?m?M所以0?mM?1令??1?，则0???1,且
(T?2)(x)?(T?1)(x)???2(x)??1(x)
按C[a,b]中距离的定义，有?(T?2,T?1)???2(x)??1(x)，所以T是压缩映像，存在??C[a,b]使T???，即?(x)??(x)?1Mf(x,?(x))，即
1Mf(x,?(x))?0，所以
f(x,?(x))?0(a?x?b)
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★可见，压缩映射原理在处理迭代数列的收敛、微分方程定解等问题上有着重要的应
用，其观点与方法已经渗透到数学的各个分支如常微分方程、数值计算，加深了各分支间的相互联系，应用压缩映射原理解决问题也十分简洁、灵活和方便。
（二）赋范线性空间 1.线性空间
设X是非空集合，F是实数域或复数域，称X为F上的线性空间，如果满足以下条件：
对?两个元素x,y?X，?X中惟一个元素u与之对应，u称为x与y的和，记为
u?x?y，且满足：
（1）交换律x?y?y?x(x,y?X)；
（2）结合律x?(y?z)?(x?y)?z(x,y,z?X)；
（3）在X中存在一个元素?，称为零元，使x???x(x?X)；
（4）对每个x?X，存在?x?X，使x?(?x)??，?x称为x的负元。
对任意数??F及x?X，存在X中惟一元素v与之对应，记为v??x，称为?与x的数乘，且满足：
（1）结合律?(?x)?(??)x (?,?)?F,x?X： （2）1x?x；
（3）数乘对加法分配律(???)x??x??x； （4）加法对数乘分配律?(x?y)??x??y。
如果F?R，称X为实线性空间；如果F?C（复数域），称X为复线性空间。 对于线性空间：
X是线性空间（满足加法和数乘运算），Y是X的非空子集，任意x,y?Y及任意α?
R ，都有x+y?Y及ax?Y，那么Y按X中加法和数乘运算也成为线性空间，称为X的子空间，X和{0}是平凡子空间。若X?Y，则称 Y是X的真子空间。 2.赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间（重点内容）
2.1定义：设X为实（或复）的线性空间，如果对每一个向量x?X，有一个确定的实数，
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记为║x║ 与之对应，并且满足：
（1） ║x║≥0 且║x║=0 ?x=0
（2） ║αx║=α║x║ 其中α为任意实（复）数 （3） ║x+y║≤║x║+║y║ x,y?X
则称║x║为向量x的范数，称X按范数║x║成为赋范线性空间
扩展：①║x║是x的连续函数。（要会证明）
②设 {xn}是X中的点列，如果?x?X，使║xn?x║→0 （n→∞）则称{xn}依 范数收敛于x，记为xn?x（n→∞）或limxn?x
n??③如果令d（x，y）=║x-y║ （x,y?X），{xn}依范数收敛于x?{xn}按距离 d（x，y）收敛于x，称d（x，y）为是由范数║x║导出的距离。
★注意：线性贱范空间一定是度量空间，反过来不一定成立。 2.2 完备的线性赋范空间称为巴拿赫（Banach）空间 2.2.1巴拿赫空间的举例
ｐ?p① n维欧式空间Rｎ ② C[a，b] ③ ④ L[a，b] ⑤ ll（p?1）
2.2.2其他：①霍尔德Horder(不等式)：
②闵可夫斯基不等式：（记住结论并会应用）
二、有界线性算子和连续线性泛函
1.算子定义：赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y的映射，被称为算子，如果Y是数域，
则被称为泛函。
2.线性算子和线性泛函
2.1定义：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D(?)是X的线性子空间，T为D到
Y中的映射，如果对任何x，y ∈D 及数α，都有
T（x+y）=Tx+Ty （1）
T（αx）=αTx （2）
则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D（T），TD称为T的值域 记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，称T为实（或复）线性泛
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