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2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理科）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR2
如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V=43pR 3在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、(1?x)的展开式中x的系数是（ ）
A、42 B、35 C、28 D、21 [答案]D
[解析]二项式(1?x)展开式的通项公式为Tk?1=C7x，令k=2，则T3?C7x
2?x2的系数为C7?21
727kk2、2[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.
(1?i)22、复数?（ ）
2iA、1 B、?1 C、i D、?i [答案]B.
(1?i)21?i2?2i??1 ?[解析]
2i2i[点评]突出考查知识点i??1，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.
2?x2?9,x?3?3、函数f(x)??x?3在x?3处的极限是（ ）
?ln(x?2),x?3?A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0
[答案]A
[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. [点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。 4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则sin?CED?（ ） DCA、
3101055 B、 C、 D、 10101015E AB[答案]B
[解析]?AE?1，正方形的边长也为1?ED?2EC?（EA?AB）?CB?5，CD?12AE?AD?222ED?EC-CD310?cos?CED??2ED?EC10sin?CED?1?cos2?CED?1010222
[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5、函数y?a?x1(a?0,a?1)的图象可能是（ ） a
[答案]C
[解析]采用排除法. 函数y?a?a(a?0,a?1)恒过（1,0），选项只有C符合，故选C. [点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础
x
知识的定义、定理及公式.
????ab7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使???成立的充分条件是（ ）
|a||b|??????????A、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|
[答案]D
??ab[解析]若使???成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证，故选D.
|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）
A、22 B、23 C、4 D、25 [答案]B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（
pp，准线方程为x=?, ,0）22?M在抛物线上，?M到焦点的距离等于到准线的距离.p2p22?（2-）?y0?3,且（2?）?322
解得：p?1,y0?22?点M（2,22）?|OM|?22?(22)2?23[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离). 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y
?X?2Y?12?2X?Y?12?且? ?X?0??Y?0画可行域如图所示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y=?3z 这是随Z变化的一族平行直线 x?4400?2x?y?12?x?4 ?? 即A（4,4） ?Zmax?1200?1600?2800
y?4x?2y?12??解方程组?[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作
目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.
10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作
A平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?BDPαCO角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为
B，该交线上的一点P满足?BOP?60，则A、P两点间的球
面距离为（ ） A、Rarccos?23?R?R B、 C、Rarccos D、 4343[答案]A
[解析] 以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，
则A(
2213R,0,R),P(R,R,0) 2222
AO?PO2?COS?AOP??R24??AOP?arccos24
?2?AP?R?arccos
4[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.
11、方程ay?bx?c中的a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程
22
所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 [答案]B
[解析]方程ay?bx?c变形得x2?22ac，若表示抛物线，则a?0,b?0 y?22bb所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：
?a??2,c?0,或1,或2,或3??a?1,c??2,或0,或2,或3（1）若b=-3，? ; （2）若b=3,
?a?2,c??2,或0,或1,或3??a?3，c??2,或0,或1,或2?a??2,c?0,或1,或2,或3??a?1,c??2,或0,或2,或3 ??a?2,c??2,或0,或1,或3??a?3，c??2,或0,或1,或2以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.
综上，共有23+23+16=62种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、设函数f(x)?2x?cosx，{an}是公差为则[f(a3)]?a1a3?（ ） A、0 B、[答案]D
[解析]∵数列{an}是公差为
2?的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?，812131? C、?2 D、?2 16168?的等差数列，且f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5? 82a1?a2???a5）?(cosa1?cosa2???cosa5)?5? ∴（2a1?a2???a5）?2?5a3?5? ∴(cosa1?cosa2???cosa5)?0, 即 （得a3??2,a1?2?4,a5?3? 4223?213?2?∴[f(a3)]?a1a3?(2a3?cosa3)?a1a5??? 1616[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，(cosa1?cosa2???cosa5)?0,隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.