内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:38:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（1）对数列A:?2,2,?1,1,3，写出G?A?的所有元素； （2）证明：若数列A中存在an使得an?a1，则G?A???；
（3）证明：若数列A满足an?an?1?1?n?2,3,?,N?，则G?A?的元素个数不小于aN?a1．
解：（1）根据题干可得，a1??2，a2?2，a3??1，a4?1，a5?3，a1?a2满足条件，2满足条件，a2?a3不
满足条件，3不满足条件，a2?a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G?A???2，5?．
（2）因为存在an?a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak?a1≥ai，其中2?i?k?1，
所以k?G?A?，G?A???．
（3）设A数列的所有“G时刻”为i1?i2???ik，对于第一个“G时刻”i1，有ai1?a1≥ai，i?2，3，?，i1?1，
2，?，i2?1）则ai1?a1≤ai1?ai1?1≤1．对于第二个“G时刻”i2??i1?，有ai2?ai1≥ai（i?1，．
则ai2?ai1≤ai2?ai2?1≤1．类似的ai3?ai2≤1，…，aik?aik?1≤1．
于是，对于aN，若N?G?A?，则aik?aN； k≥aik?aik?1?aik?1?aik?2???ai2?ai1?ai2?a1?aik?a1．
????????aik?1，?，aN中存在“G时刻”，与只有k个“G时刻”矛盾． 若N?G?A?，则aN≤aik，否则由⑵，知aik，从而，k≥aik?a1≥aN?a1，证毕．
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．
6