内容发布更新时间 : 2024/11/7 4:39:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
线性方程组的应用
线性方程组是线性代数的主要研究对象之一，它的理论严谨、发展完善、处理问题方法独特，可应用于解决各个领域的实际问题。在代数理论中，借助于方程组可以判断向量组的线性相关，可以求矩阵的特征向量等；在几何、物理、化学、经济、生物、食品等许多方面，方程组也有着广泛的应用。
应用一．线性方程组在空间解析几何中的应用
1.1．线性方程组表示平面，判断平面的位置关系
在空间解析几何中，任一平面可以用三元一次方程A1x?B1y?C1z?D1?0表示，下面用方程组解的判定来判别两个平面的位置关系。 设两个平面
Ⅱ1：A1x?B1y?C1z?D1?0 Ⅱ2：A2x?B2y?C2z?D2?0
则Ⅱ1，Ⅱ2间的相互关系有下面三种情形：
?A1B1C1??A1B1C1D1??R(1)当R??，即方程组 ????A2B2C2??A2B2C2D2??A1x?B1y?C1z?D1?0 ?Ax?By?Cz?D?0?2222的系数矩阵的秩不等于其增广矩阵的秩，方程组无解，故Ⅱ1，Ⅱ2没有公共点，Ⅱ1，Ⅱ2平行且不重合。
?A1B1C1??A1B1C1D1??R?1时，方程组 (2)当R?????A2B2C2??A2B2C2D2??A1x?B1y?C1z?D1?0 ?Ax?By?Cz?D?0?2222 1
有无穷解，且Ⅱ1，Ⅱ2重合。
?A1B1C1??A1B1C1D1?(3)当R???R?ABCD??2时，方程组 ABC?222??2222??A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0有无穷多解，但Ⅱ1，Ⅱ2不重合，相交于一条直线。 例.1 判断平面
Ⅱ1：x?2y?z?8?0 Ⅱ2: 2x?y?z?7?0 的位置关系。
?12?1??12?18?解: R???R?2 ????211??211?7?所以，平面Ⅱ1，Ⅱ2相交于一条直线L。 1.2 三维空间应用举例
线性方程组可以应用于三维空间中，先将所考虑的问题化为一线性方程组，再利用计算机进行求解，此种方法有进一步的推广。 例：考虑3维空间中由不等式：
?x1?0?x?02?? ?x3?0?6x?2x?3x?623?1??4x1?2x2?3x3?12决定的区域。若将不等号换成等号，它们就是空间中的5个平面。每三个平面成一组，求这三个平面的交点的坐标，可找到多少个点？对每一个点判断是否所有不等式都成立？若都成立，此点就是一个顶点，有多少个顶点？ 分析问题
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由于所给条件是一些不等式，对其进行求解有一些困难。我们考虑将上述不等式中的不等号换成等号。为了统一起见，将最后一个不等式作如下等价变形：
4x1?2x2?3x3?12??4x1?2x2?3x3??12
一共要求解10次方程组。当方程个数较多时，用人工方式显然效率十分低下而且准确率难以保证。由此考虑用计算机求解。 用Matlab 6.1对该问题进行求解 求解程序
A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1;6,2,3;-4,-2,-3];%系数矩阵 B=[0;0;0;6;-12]; %常数项矩阵 General_Solution=[]; %未经判断的解矩阵
Vector_Solution=[]; %产生每组解的方程序号和解所不满足的不等式序号矩阵 None_Solution=[]; %无解方程组的方程序号矩阵 Valid_Solution=[]; %经过判断有效的解矩阵 t=1; l=1;
Solve_equations; %方程求解 r=1; for(s=1:t-1)
if(sum(Vector_Solution(size(A,2)+1:size(A,1),s))==0)%判断解的有效性 Valid_Solution(:,r)=General_Solution(:,s);%储存有效解 r=r+1; end end
General_Solution
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