内容发布更新时间 : 2024/12/25 21:01:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(1)对任意的y?f(A∪B)有,
y?f(A∪B) ??x?A∪B∧f(x)= y??x?A∨?x?B∧f(x)= y ?(?x?A∧f(x)= y)∨(?x?B∧f(x)= y) ? y?f(A)∨y?f(B) ? y?f(A)∪f(B) (2)对任意的y?f(A∩B)有,
y?f(A∩B) ??x?A∩B∧f(x)= y??x?A∧?x?B∧f(x)= y ?(?x1?A∧f(x1)= y) ∧(?x2?B∧f(x2)= y) ? y?f(A)∧y?f(B) ? y?f(A)∩f(B)
(3)对任意的y? f(A)-f(B)有,y?f(A)∧y?f(B)。即对某个x1?A,y=f(x1),但对任意x?B,y?f(x)。故对某个x1?A-B,y=f(x1),即 y? f(A-B) 于是 f(A)-f(B) ? f(A-B)。
8. 设f: A→B是满射函数,且函数g: B→P(A)定义为: g(b)={x|x∈A∧f(x)=b}
证明:g是单射。其逆成立吗?若成立给出证明,否则给出例子予以说明。
证明:因为f是满射函数,则对任意b∈B,至少存在一个x∈A,使得f(x)=b,故g的定义域为B。对任意的b1,b2?B,且b1?b2, g(b1)={x|x∈A∧f(x)= b1} g(b2)={y|y∈A∧f(y)= b2}
因为b1?b2,f(x)?f(y),而f是函数,故x?y,所以 g(b1)?g(b2) 故g是单射。 逆不成立。
例如:A={a,b,c},B={x,y,z},则 f: A→B,f(a)=x,f(b)=x,f(c)=y。
g: B→P(A),g(x)={a,b},g(y)={c},g(z)= ?。 g是单射,但f不是满射。
9. 证明:若f: A→B,g: B→A,且gf =IA,f g =IB,则g=f-1,且f=g-1。
证明:因为gf =IA,所以gf (a1)= g(f (a1)) =a1,gf (a2)= g(f (a2)) =a2,若a1≠a2,g(f (a1))≠g(f (a2)),所以f (a1)≠f (a2),即f:是入射。
又对任意的a?A有gf (a)= g(f (a)) =a,即存在f (a)=b?B,使得g(b) =a,因此g是满射。同理,若f g =IB,则g是入射且f是满射,故可知f和g都是双射函数。
设?f,因为?IA,而gf =IA,故必有某个c?B,使得?f且
反之,若?g,由?IB,故必有某个d?A,有?g∧
上述证明得到?f当且仅当?g,所以g=f-1且f=g-1。 10. 证明:若(gf)-1是一个函数,则f和g不一定是入射。
证明:设A={a,b,c},B={1,2,3,4},C={x,y,z},f是A到B的函数,g是B到C的函数,