内容发布更新时间 : 2026/1/12 15:39:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
解：平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个，
∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36★★9．已知两点
M1(4,2,1),M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角。
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：
M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343
，求向量a。
★★10．已知向量a的模为3，且其方向角????60,??45知识点：向量的坐标表示及相关概念
解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：
a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos★★11．设向量a的方向余弦分别满足
?3,cos??3323,cos}?{,,} 43222(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0
问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？
知识点：向量的方向余弦
解：（1）cos??0表示向量和x轴正向夹角为
（2）cos?（3）cos?于z轴
★12．已知
?，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为
?，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60，求Prj?r。
知识点：向量在轴上的投影
解：根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?
(2,?1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,?4,7，求该向量的起★★13．一向量的终点为B点
A的坐标。
知识点：向量在坐标轴上的投影
解：∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影，设起点A为A(x,y,z)，则：
AB?{2?x, ?1?y, 7?z}?{4, ?4, 7}?(x,y,z)?(?2, 3, 0)
★★14．求与向量a?{16,?15,12}平行，方向相反，且长度为75的向量b。
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：由条件可得：b??a，b长度为75，∴ ??162?152?122?75????3
∵b和a反向，∴???3?b??a={?48,45,?36}，
习题7-3
★★1．设
a?3 , b?5，且两向量的夹角???/3，试求(a?2b)?(3a?2b)。
知识点：向量的数量积及其运算规律
解：根据数量积的运算规律：(a?2b)?(3a?2b)?3a?2a?b?6b?a?4b
22?3a?4a?b?4b22，∵a?b?abcos(a?b)? M3(3,1,3)?15?(a?2b)?(3a?2b)??103 2★★2．已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1),，求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量
知识点：向量的向量积
解：∵由向量积性质：a?b?a, a?b?b，M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}
i∴M1M2 ? M2M3j4k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}
?20?2∴所求单位向量为?13?2?2222★3．设力
f?2i?3j?5k作用在一质点上，质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5)，求此力
所做的功（设力的单位为N，位移的单位为m）
知识点：数量积的物理意义
解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为M1M2?{2,3,3}，
∴W?f?M1M2?(2i?3j?5k)?(2i?3j?3k)?10(N?m)
?{4,?3,4)在向量b?{2,2,1}上的投影。
★4．求向量a知识点：向量在轴上的投影
解：根据公式Prjba?acos(a,b)?a★★5．设a?a?ba?b??2。
a?bb?{3,5,?2} , b?{2,1,4}，问?与?有怎样的关系能使?a??b与z轴垂直？
知识点：两向量垂直的充要条件
解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z轴的单位向量{0,0,1)，则
(?a??b)?{0,0,1}??2??4??0???2?
★★★6．在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为
x1的点P1处，有一与OP在O1成角?1的力F1作用着，
的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，有一与OP2成角?2的力F2作用着，如图，问?1，?2，x1，
x2，F1
，
F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
F2 F1 ?2 x2 o 图7-3-6 x1 ?1
知识点：向量积的物理应用
解：P1处F1作用产生的力矩M1?OP1?F1，P2处F2作用产生的力矩M2?OP2?F2，要使杠
杆平衡，只要
M1?M2?x1F1sin?1?x2F2sin?2
★★7．设a?2i?3j?k , b?i?j?3k , c?i?2j，求
（1）(a?b)c?(a?c)b； （2）(a?b)?(b?c)； （3）(a?b)?c
知识点：向量运算的坐标表示
解（1）(a?b)c?(a?c)b?8c?8b?{0 , ?8, ?24}
i （2）(ajk?b)?(b?c)?{3,?4, 4}?{2,?3, 3}?3?44??j?k
2?33ijk （3）(a?b)?c?(2?31)?c?{?8, ?5, 1}?{1,?2, 0}?2
1?13★★★8．直线
L通过点A(?2,1,3)和B(0,?1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离。
知识点：向量积
思路：在A,B,C为顶点组成的三角形中，AB边上的高即为所求距离。 解：设所求的距离值为h，AB?3，又根据向量积的性质：S?ABC?1AB?AC2
iAB?AC?212?S?ABC?jk?2?1??10i?26j?32k?AB?AC?30247
11AB?AC??3h?h?10222★★★★9．试证向量
ab?baa?b表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。
思路：按题意，只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。 解：设c?ab?baa?b，Prjac?ba?aab?abaa?cb?a????, aa(a?b)a(a?b)a?ba?bbb?aab?bbab?cb?a而Prjbc??????Prjac
bb(a?b)b(a?b)a?ba?b又c?ab?baa?b?ka?(1?k)b , (k?ba?b)∴c和a、b在同一平面上，