内容发布更新时间 : 2025/1/1 2:45:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
?(x?1)2?y2?(z?1)2?4★★★9．将曲线的一般方程? 化为参数方程。
z?0?22解：将z?0代入(x?1)?y?(z?1)?4，?可得：(x?1)?y?3，
222?x?1?3cos?该圆方程的参数式为：?，
?y?3sin??x?1?3cos??(x?1)?y?(z?1)?4?∴曲线? 的参数方程为：?y?3sin? 。
z?0??z?0?222★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：
?x2?y2?z2?20?x2?4y2?9z2?36?x?2?0（1）? （2）? （3）?
z?2?0y?1?y?3?0???x2?4y2?8z?x2?4y2?4z（4）? （5）?
z?8y??2??答：（1）两平面的交线，该直线平行于z轴
（2）表示球面x2?y2?z2?20与平行于xoy面的平面z?2的交线，为一在z?2平面上的圆线：
?x2?y2?16 ??z?2（3）表示单叶双曲面
x2?4y2?9z2?36和y?1平面的交线，为一在y?1平面上的椭圆线：
?x2?9z2?40 ?y?1?（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?4z与y??2平面的交线，为一在y??2平面上的抛
?x2?16?4z物线：?
?y??2（5）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?8z与z?8平面的交线，为一在z?8平面上的双曲线：
?x2?4y2?64 ?z?8?★★★11．求旋转抛物面
z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影。
知识点：曲面的投影和空间区域的投影
解：见图7-5-11，
z z y
o x 图7-5-11
y o x ?z?x2?y2（1）由于旋转抛物面z?x?y(0?z?4)投影到xoy面上时，它的边界线是??z?422，
?x2?y2?4∴在xoy面上的投影为：?；
z?0?（2）由于旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)投影到yoz面上时，它的边界线是：
?z?x2?y2,(0?z?4)?y2?z?4∴在yoz面上的投影为：? ?x?0??x?0?x2?z?4（3）同理，旋转抛物面z?x?y(0?z?4)在xoz面上的投影为：?
y?0?22★★★12．假定直线
L在
yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，而在
?x?0zox平面上的投影方程为
?x?z?2，求直线L在xoy面上的投影方程。 ?y?0?解：∵直线L在yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，∴直线L一定在投影柱面2y?3z?1上，
?x?0z得到直线L在
?2y?3z?1同理，直线L也一定在投影柱面x?z?2上，∴直线L方程为?，消去
x?z?2?xoy面上的投影方程：??3x?2y?7
?z?0
内容概要
主要内容（7-6，7-7） 空间平面及其方程 平面的截距式方程 平面的一般方程 平面的点法式方程 过M0(x0,y0,z0)，法矢为n?{A,B,C}的平面方程： A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 Ax?By?Cz?D?0 xyz???1 abcAx?By?Cz?D?0的距离：d?A1A2?B1B2?C1C2A?B?C212121点M0(x0,y0,z0)到平面Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 两平面的夹角?：cos?? （?1：空间直线及其方程 参数方程 一般方程 对称式方程 A1x?B1y?C1z?D1?0，?2：A2x?B2y?C2z?D2?0） 过M0(x0,y0,z0)，方向矢为s?{m,n,p}的直线方程： 对称式方程和一般方程的关系： x?x0y?y0z?z0??mnp is?A1A2jB1B2kC1C2 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0x?mt?x0 , y?nt?y0 , z?pt?z0 两直线的夹角?： cos??s1?s2s1s2?m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121m?n?p222222 （L1的方向矢s1?{m1,n1,p1}，L2的方向矢s2?{m2,n2,p2}） 直线和平面的夹角?：sin??n?sns?mA?nB?pCm?n?p222A?B?C222 （直线L： x?x0y?y0z?z0??mnp，L的方向矢为s?{m,n,p}； 平面?：Ax?By?Cz?D?0），?的法矢为n?{A,B,C} A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0 平面束方程（L为一般方程式）：
习题7-6
★ 1． 求通过点(2,4,?3)且与平面2x?3y?5z?5平行的平面方程。
知识点：平面及其方程
思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程
解：∵所求平面?与已知平面2x?3y?5z?5平行，∴?的法矢n?{2,3,?5}，
由平面的点法式方程可得?：2(x?2)?3(y?4)?5(z?3)?0?2x?3y?5z?31
★2．求过点M0(2,9,?6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
知识点：平面及其方程
解：∵所求平面?与OM0垂直，∴?的法矢n?OM0?{2,9,?6}，又?过点M0(2,9,?6)，
∴?：2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0?2x?9y?6z?121
★★3．求过点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)三点的平面方程。
思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。
解：∵所求平面?过三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)，∴平面?的法矢n应满足：
n?M1M2 , n?M1M3，M1M2?{2,1,1} , M1M3?{1,?1 , 1}；
i∴可选择nj1k1?2i?j?3k，
?M1M2?M1M3?21?11∴?：2(x?1)?(y?1)?3(z?2)?0?2x?y?3z?5?0
注：三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)组成的任意两个向量的向量积都可作为平面?的法矢n