内容发布更新时间 : 2024/9/21 1:25:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴?1???11??1?a=b=，当且仅当时等号成立． 1??9???2a??b?【思想方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【温馨提醒】
1. 在运用
a?b?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 22. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
考点2 利用基本不等式求最值
【2-1】若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________． 【答案】4
【解析】因为log2x＋log2y＝1，即log2xy＝1，所以xy＝2且x＞0，y＞0，于是x＋2y≥2x·2y＝4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，所以x＋2y的最小值为4. 【2-2】设0?x?1，函数y?【答案】 9
41的最小值为 ． ?x1?x
【2-3】已知x?0,y?0,lg2?lg8?lg2，则【答案】4
xyxy【解析】由lg2?lg8?lg2，得lg2?8?lg2，即2xy11?的最小值是 ． x3y??x?3y?2，亦即x?3y?1,且x?0,y?0，从
而
3yx11?11?3yx3yx?当且仅当，又x?3y?1，???????x?3y??2???2?2??4，
x3yx3y?x3y?x3yx3y 5
即x?1111，y?时，?取得最小值4，注意乘“1”法技巧的使用. 26x3y1的最小值为 ． ab1t【2-4】若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋【答案】2
【解析】由2＝a＋b≥2ab得0 【2-5】设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是 ． 【答案】2 【思想方法】 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【温馨提醒】 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. ax 6 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 考点3 基本不等式的实际应用 【3-1】要制作一个容器为4m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88 【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, 仅当x?2的时区到最小值. 【3-2】如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积．若1a?1?f(M)＝?，x，y?，且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值为________． xy?2? 3 480?160.当且. 则该容器的最低总造价是y?80?20x?xx 【答案】1 【3-3】如图，有一块等腰直角三角形ABC的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿地，已知AB?AC,AB?4，绿地面积最大值为 ． 【答案】4 【解析】设EH?x，EF?y，由条件可知?EBH和?EFA为等直角三角形，所以EB?2x， 7 AE?22y．AB?EB?AE＝2x?y≥2222x?2y＝2xy，即2xy≤4，所以xy?4，2所以绿地面积最大值为4． 【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x(x?N*)满足y??x2?12x?25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？ 【答案】5年 ?x2?12x?252525【解析】年平均利润为f(x)???x??12??2x??12?2,x?N?, xxx当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元． 【思想方法】 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【温馨提醒】 对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题． 【易错试题常警惕】 忽视最值取得的条件致误 12 典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________． xy3 (2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． x12 易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝＋≥2 2 xyxy，∴xy≥22，∴x＋y≥2xy≥42，得(x＋y)min＝42. 3 (2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥26. x【答案】(1)3＋22 (2)1＋26 【解析】(1)∵x>0，y>0， 8 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范] 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 9