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第五章 信号处理初步
5-1 求h(t)的自相关函数。
解：这是一种能量有限的确定性信号，所以
5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为
x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2) 求该信号的自相关函数。
解：设x1(t)=A1cos(?1t+?1)；x2(t)= A2cos(?2t+?2)，则 因为?1??2，所以Rx1x2(?)?0，Rx2x1(?)?0。 又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以
A22cos(?2?) 同理可求得Rx1(?)?2A12A22cos(?1?)?cos(?2?) 所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?225-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。
x(t) 1 sin(?t) 0 -1 T t y(t) 1 0 -1 图5-24 题5-3图
解法1：按方波分段积分直接计算。
t
解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。
1T1T?4?Rxy(?)??x(t)y(t??)dt??sin(?t)???cos(?t???)dtT0T0???4T1???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?0?T2所以
T2?T??sin(2?t???)dt??sin(??)dt???0?0??T?22??0?Tsin(??)???sin(??)?T?解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。
x(t) 1 sin(?t) 0 -1 T t y(t) 1 0 -1 y(t+?) 1 T4? 3T4T t 0 -1
T??43T??4T t Ry(?) 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数
T/2 0 T ?
5-4 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？
方波的自相关函数图
x(t) 系 统 y(t) Rx(?) Rxy(?) 0 ? 图5-25 题5-4图
0 T ?
解：因为Rx(?)=Rxy(?+T) 所以lim1T1Tx(t)x(t??)dt?limx(t)y(t???T)dt
T??T?0T??T?0所以x(t+?)=y(t+?+T) 令t1 = t+?+T，代入上式得
x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)
结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。
5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。 解：设信号x(t)的均值为?x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则
x(t) = ?x + x1(t)
2如果x1(t)不含周期分量，则limRx1(?)?0，所以此时limRx(?)??x；如果x(t)含周期分量，则Rx(?)
??????中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(?)中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2；
根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见
???下面的图。例如：如果limRx(?)?C，则?x??C。
Rx(?) ?x2+ ?x2 ?x2 0 ? ?x2- ?x2 自相关函数的性质图示 Rx(?) x0220 含有简谐周期分量的自相关函数的图
?
5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos??
?x2= Rx(0)=A
5-7 应用巴塞伐尔定理求
????sinc2(t)dt积分值。
解：令x(t)=sinc(t)，其傅里叶变换为 根据巴塞伐尔定理得
5-8 对三个正弦信号x1(t)=cos2?t、x2(t)=cos6?t、x3(t)=cos10?t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。 解：采样序列x(n)
采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，?? 采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，?? 采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??
x1(t) t x2(t) t x3(t) t
从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列
却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。