内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:37:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 质点运动学
1.1 一质点沿直线运动,运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3.试求: (1)第2s内的位移和平均速度;
(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程; (3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.
[解答](1)质点在第1s末的位置为:x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m).
在第2s末的位置为:x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m). 在第2s内的位移大小为:Δx = x(2) – x(1) = 4(m),
经过的时间为Δt = 1s,所以平均速度大小为:v=Δx/Δt = 4(m·s-1). (2)质点的瞬时速度大小为:v(t) = dx/dt = 12t - 6t2,
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1),
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0
质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即Δs = Δx = 4m. (3)质点的瞬时加速度大小为:a(t) = dv/dt = 12 - 12t,
因此1s末的瞬时加速度为:a(1) = 12 - 12×1 = 0,
第2s内的平均加速度为:a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2).
[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.
1.2 一质点作匀加速直线运动,在t = 10s内走过路程s = 30m,而其速度增为n = 5倍.试证加速度为a?2(n?1)s,并由上述数据求出量值.
(n?1)t2[证明]依题意得vt = nvo,根据速度公式vt = vo + at,得
a = (n – 1)vo/t, (1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as,得 a = (n2 – 1)vo2/2s,(2) (1)平方之后除以(2)式证得:a?计算得加速度为:a?2(n?1)s.
(n?1)t22(5?1)30= 0.4(m·s-2). 2(5?1)10
1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g = 10m·s-2.问:
(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?
(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角? 22.5o [解答]方法一:分步法.
70m (1)夹角用θ表示,人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为
图1.3 vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at,
这里的v0就是vy0,a = -g;当人达到最高点时,vt = 0,所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:vt2 - v02 = 2as, 可得上升的最大高度为:h1 = vy02/2g = 30.94(m).
人从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为;h2 = h1 + h = 100.94(m). 根据自由落体运动公式s = gt2/2,得下落的时间为:t2?因此人飞越的时间为:t = t1 + t2 = 6.98(s). 人飞越的水平速度为;vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1),
2h2= 4.49(s). g所以矿坑的宽度为:x = vx0t = 419.19(m).
(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:vy = gt = 69.8(m·s-1), 落地速度为:v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1), 与水平方向的夹角为:θ = arctan(vy/vx) = 49.30o,方向斜向下.
方法二:一步法.
取向上为正,人在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2,移项得时间的一元二次方程
12gt?v0sin?t?y?0, 2解得:t?(v0sin??v0sin??2gy)g.
这里y = -70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:t = 6.98(s).
由此可以求解其他问题.
1.4 一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt = -kv2,k为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为(2)试证在时间t内,船行驶的距离为x?2211??kt; vv01ln(v0kt?1). kvtdvdv[证明](1)分离变量得2??kdt, 故 ?2??k?dt,
vvv0011??kt. vv0v0(2)公式可化为v?,
1?v0ktv01由于v = dx/dt,所以:dx?dt?d(1?v0kt)
1?v0ktk(1?v0kt)可得:
积分
1d(1?v0kt).
k(1?v0kt)001因此 x?ln(v0kt?1). 证毕.
kxt?dx??[讨论]当力是速度的函数时,即f = f(v),根据牛顿第二定律得f = ma. 由于a = d2x/dt2, 而 dx/dt = v, a = dv/dt, 分离变量得方程:dt?mdv, f(v)解方程即可求解.
在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比,则 dv/dt = -kvn. (1)如果n = 1,则得
dv??kdt, v积分得lnv = -kt + C.当t = 0时,v = v0,所以C = lnv0, 因此lnv/v0 = -kt,
得速度为 :v = v0e-kt. 而dv = v0e-ktdt,积分得:x?v0?kte?C`. ?k当t = 0时,x = 0,所以C` = v0/k,因此x?1?nv0(1-e?kt). kR (2)如果n≠1,则得
vdv??kdt??kt?C. ,积分得vn1?n1?nv011?C,因此n?1?n?1?(n?1)kt. 当t = 0时,v = v0,所以
1?nvv0 A 图1.7 如果n = 2,就是本题的结果.
n?1{[1?(n?1)v0kt](n?2)/(n?1)?1}如果n≠2,可得x?,读者不妨自证. n?2(n?2)v0k
1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ = 2 + 4t3.求: (1)t = 2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值? (3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? [解答](1)角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1),
法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2); 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2), 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2). (2)总加速度为a = (at2 + an2)1/2,
当at = a/2时,有4at2 = at2 + an2,即an?at3. 由此得r?2?r?3,即 (12t2)2?24t3, 解得 t?3/6.
所以 ??2?4t3?2(1?3/3)=3.154(rad).
(3)当at = an时,可得rβ = rω2, 即: 24t = (12t2)2,
解得 : t = (1/6)1/3 = 0.55(s).
1.6 一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,
3此后飞机的加速度为a = 203m·s-2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
y [解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ, a ay v0y = v0sinθ. O α ax θ v0x 加速度的大小为ax = acosα, ay = asinα. x v0y v 12120 运动方程为x?v0xt?axt, y??v0yt?ayt.
22
s?t?即 x?v0co?1aco?s?2t, 21y??v0sin??t?asin??t2.
22v0sin??103(s).
asin?令y = 0,解得飞机回到原来高度时的时间为:t = 0(舍去);t?将t代入x的方程求得x = 9000m.
[注意]选择不同的坐标系,如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相同的结果.
1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.由于h?所以at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2).
物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m·s-1),
1at?t2, 2v2这也是边缘的线速度,因此法向加速度为an?= 0.36(m·s-2).
R
1.8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
1h1?v0t?at2;
2螺帽做竖直上抛运动,位移为h2?v0t?由题意得h = h1 - h2,所以h?12gt. 21(a?g)t2, 2解得时间为t?2h/(a?g)= 0.705(s).
算得h2 = -0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a + g,而初速度为零,可列方程
h = (a + g)t2/2,
由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间的距离为l,飞机相对于空气的速率v保持不变.
2l; vt0(2)如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为t1?;
1?u2/v2t0(3)如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为t2?.
221?u/v(1)如果u = 0(空气静止),试证来回飞行的时间为t0?[证明](1)飞机飞行来回的速率为v,路程为2l,所以飞行时间为t0 = 2l/v. (2)飞机向东飞行顺风的速率为v + u,向西飞行逆风的速率为v - u, 所以飞行时间为t1?ll2vlt0??2 ?2l2/v2?. 222v?uv?uv?u1?u/v1?u/vA
v
v B
(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机
沿着AB之间的直线飞行,就要使其相对地的速度偏向北方,可作矢量三角形,其中沿AB方向的速度大小为V?v?u,所以飞行时间为
22 v + u A v - u
v A
B u
t2?2l2l2l/vt0 ?. 证毕. ??222222Vv?u1?u/v1?u/v
1.10 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v2.今在车后放一长方形物体,问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?
???[解答]雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对地的速度v1,由此可作矢量三角形.根据题意得
B u v