内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:34:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(2)如图②,连接AM、AN,
∵∠BAC=135°, ∴∠B+∠C=45°,
∵点M在AB的垂直平分线上, ∴AM=BM, ∴∠BAM=∠B,
同理AN=CN,∠CAN=∠C, ∴∠BAM+∠CAN=45°,
∴∠MAN=∠BAC﹣(∠BAM+∠CAN)=90°, ∴AM2+AN2=MN2, ∴BM2+CN2=MN2;
(3)如图③,连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E,
∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC, ∴PH=PE,
∵点P在AC的垂直平分线上, ∴AP=CP,
在Rt△APH和Rt△CPE中,
,
∴Rt△APH≌Rt△CPE(HL), ∴AH=CE,
在△BPH和△BPE中,
,
∴△BPH≌△BPE(AAS) ∴BH=BE,
∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH, ∴AH=(BC﹣AB)÷2=3.5.
11.(2019秋?溧水区期末)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
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【模型呈现】
(1)如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC= DE ,BC= AE .我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型;
【模型应用】
(2)①如图2,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证:点G是DE的中点;
②如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,4),点B为平面内任一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点B的坐标. 【分析】(1)根据全等三角形的对应边相等解答;
(2)①作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N,证明△ABF≌△DAM,根据全等三角形的性质得到EN=DM,再证明△DMG≌△ENG,根据全等三角形的性质证明结论;
②过点B作DC⊥x轴于点C,过点A作DE⊥y轴于点E,仿照①的证明过程解答. 【解答】解:(1)∵∠1+∠2=∠2+∠D=90°, ∴∠1=∠D,
在△ABC和△DAE中,
,
∴△ABC≌△DAE(SAS) ∴AC=DE,BC=AE, 故答案为:DE;AE;
(2)①如图2,作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N,
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∵BC⊥AF,
∴∠BFA=∠AMD=90°, ∵∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=∠1+∠B=90°, ∴∠B=∠2,
在△ABF与△DAM中,∠BFA=∠AMD,
,
∴△ABF≌△DAM(AAS), ∴AF=DM, 同理,AF=EN, ∴EN=DM,
∵DM⊥AF,EN⊥AF, ∴∠GMD=∠GNE=90°, 在△DMG与△ENG中,
∴△DMG≌△ENG(AAS),
∴DG=EG,即点G是DE的中点;
②如图3,△ABC和△AB′C是以OA为斜边的等腰直角三角形,
过点B作DC⊥x轴于点C,过点A作DE⊥y轴于点E,两直线交于点D, 则四边形OCDE为矩形, ∴DE=OC,OE=CD, 由①可知,△ADB≌△BCO, ∴AD=BC,BD=OC,
∴BD=OC=DE=AD+2=BC+2, ∴BC+BC+2=4, 解得,BC=1,OC=3, ∴点B的坐标为(3,1), 同理,点B′的坐标为(﹣1,3),
综上所述,△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形,点B的坐标为(3,1)或(﹣1,
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3).
12.(2019?邗江区校级一模)阅读下面材料:小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.4,AC=3.6,求BC得长. 小聪思考:因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE.这样很容易得到△DEC≌△DAC,经过推理能使问题得到解决(如图2). 请完成:(1)求证:△BDE是等腰三角形 (2)求BC的长为多少?
(3)参考小聪思考问题的方法,解决问题:如图3,已知△ABC中,AB=AC,∠A=20°,
BD平分∠ABC,BD,BC,求AD的长.
【分析】(1)由已知条件和辅助线的作法,证得△ACD≌△ECD,得到AD=DE,∠A=∠
DEC,由于∠A=2∠B,推出∠DEC=2∠B,等量代换得到∠B=∠EDB,得到△BDE是等腰
三角形;
(2)根据(1)中得:AC=CE=3.6,DE=BE=2.4,相加可得BC的长;
(3)在BA边上取点E,使BE=BC=2,连接DE,得到△DEB≌△DBC,在DA边上取点F,使DF=DB,连接FE,得到△BDE≌△FDE,即可推出结论. 【解答】解:(1)如图2,在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE. 在△ACD与△ECD中,
,
∴△ACD≌△ECD(SAS), ∴AD=DE,∠A=∠DEC, ∵∠A=2∠B, ∴∠DEC=2∠B, ∴∠B=∠EDB, ∴△BDE是等腰三角形;
(2)由(1)知:AC=CE=3.6,DE=BE=2.4, ∴BC=BE+CE=2.4+3.6=6;
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(3)∵△ABC中,AB=AC,∠A=20°, ∴∠ABC=∠C=80°, ∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2=40°,∠BDC=60°, 在BA边上取点E,使BE=BC=3在△DEB和△DBC中, ∵
,
,连接DE,
∴△DEB≌△DBC(SAS), ∴∠BED=∠C=80°, ∴∠4=60°, ∴∠3=60°,
在DA边上取点F,使DF=DB,连接FE, 同理得△BDE≌△FDE(SAS), ∴∠5=∠1=40°,BE=EF=3∵∠A=20°, ∴∠6=20°, ∴AF=EF=3∵BD=DF=4 【题组四】
13.(2019?鼓楼区二模)提出问题:用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片,等边三角形纸片的边最小值是多少?
探究思考:几位同学画出了以下情况,其中∠C=90°,BC=2cm,△ADE为等边三角形. (1)同学们对图1,图2中的等边三角形展开了讨论:
①图一中AD的长度 > 图②中AD的长度(填“>”,“<”或“=”) ②等边三角形ADE经过图形变化.AD可以更小.请描述图形变化的过程.
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,
, ,
.
∴AD=BD+BC=7