内容发布更新时间 : 2024/12/26 1:08:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
知识点一：定积分的概念
如果函数区间
在区间
上连续，用分点
上任取一点
将
（i=1,2,3?,n），作和式
分为n个小区间，在每个小区间
，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫
做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，
叫做被积函数，
与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分变量， 说明：
叫做被积式.
叫做积分区间，函数
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
知识点二：定积分的几何意义
设函数 在线
在区间上，当与
上连续.
时，定积分在几何上表示由曲线以及直
轴围成的曲边梯形的面积；
在边梯形位于
上，当
轴下方，定积分
时，由曲线
以及直线
与
轴围成的曲
在几何上表示曲边梯形面积的相反数；
在
上，当
既取正值又取负值时，曲线
的某些部分在
轴的上方，
而其他部分在轴下方，如果我们将在形的面积赋予负号；
轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线与轴所围成的各部分面积的代数和.
，两条直线
知识点三：定积分的性质
（1） （2） （3）
（
为常数），
，
（其中
），
（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数 若函数
在区间在区间
上是奇函数，则上是偶函数，则
；
.
知识点四：微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）: 如果其中
在叫做
上连续，且的一个原函数.
，则
。
注意：
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函
数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. ②由于
也是
，
轴（即直线
）及一条曲
的原函数，其中c为常数.
知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线线 (
)围成的曲边梯形的面积：
，
2．如图，由三条直线线 (
)围成的曲边梯形的面积：
，
，
轴（即直线
）及一条曲
3．由三条直线上
，
上
）围成的图形的面积：
轴及一条曲线
（不妨设在区间
在区间
4. 如图，由曲线成图形的面积：
＝＋
及直线
.
，
围
知识点六：定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程区间
上的定
.
，等于其速度函数在时间
积分，即 ②变力作功 物体在变力移动到
的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从
，那么变力所作的功.
规律方法指导
1．如何正确理解定积分的概念 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即不变性），另外定积分
（称为积分形式的
与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的
与
的几何意义
的值就不同。
积分上下限不同，所得的值也就不同，例如 2．
由于被积函数
、
与
在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图像可以在x轴上方，也
可以x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以直线线
（a≠b）与
表示由x轴，曲线及
轴所围成的各部分面积的代数和；而
表示在区间[a，b]上所有以，两条直线
与
是非负的，曲
为曲边的
在x轴上方，所以
正曲边梯形的面积，等于曲线轴所围成的各部分面
积的绝对值的和；而是的绝对值，三者的值在一般情况下是不相同的。
3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）借助图形确定出被积函数； （4）写出平面图形的定积分表达式； （5）运用公式求出平面图形的面积.
类型一：利用定积分的几何定义求定积分
1．说明定积分
所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。
解析：设，则，表示半径为2的个圆，
由定积分的概念可知，表示如图所示的以2为半径的圆的面积,
所以
总结升华：利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。 举一反三：
【变式1】由____________；
，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是
【答案】
【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）
（1） （2）
【答案】（1），（2）