内容发布更新时间 : 2024/12/26 1:10:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。 （1） 【答案】 （1）设
； （2）
；
，
则积，
表示由直线，，以及轴围成的梯形的面
该梯形面积为 ∴ （2）设
，
。
则表示由直线，,所以
，以及。
轴围成的矩形的面积，
该矩形面积为
【变式4】利用定积分的几何定义求定积分： （1） 【答案】
； （2）
（1）设，则表示个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,
所以 （2）设边形，
，则
表示如图的曲
其面积,
故.
类型二：运用微积分定理求定积分
2．运用微积分定理求定积分
（1）， （2）， （3）
思路点拨： 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解. 解析：
（1）∵ （2）∵
，∴
，∴
；
；
（3）∵，∴.
总结升华：求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数
。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求
，
即利用求导函数与求原函数互为逆运算。
有时需要将原式化简后再求解，有时不易找到原函数定积分的几何定义）.
举一反三：
【变式1】计算下列定积分的值：
，此时可以用其他方法（如：
（1） 【答案】 （1）∵
； （2）； （3）.
，
∴；
（2）∵，
∴ （3）∵
，
.
∴
【变式2】计算下列定积分的值：
；
（1） 【答案】
， （2）， （3）
（1）
（2）
（3）
类型三：运用积分的性质求定积分
3．求定积分：；
思路点拨：对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分，根据定积分对区间的可加性，对给定的积分区间适当分成几个积分区间，计算各个积分，最后求和，得出结果. 解析：
＝
＋＋
＝
＝
＝；
＝
总结升华：对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质
＋进行化简.对于含绝对值的函数求积分，一般先把绝对值号去掉，
写成分段函数，合理地确定积分区间，再进行积分.
举一反三： 【变式1】设
是连续函数，若
，
，则
____________； 【答案】
；
【变式2】已知函数 【答案】
＝
＋＋
，计算
.
＝
＝＋
＝.
4．求定积分：
思路点拨： 利用定积分的性质求解 解析：∵
是奇函数，∴
；
，
∵是偶函数，∴
∴
总结升华：利用被积式函数的奇偶性求积分。 举一反三：【变式1】设 【答案】∵
是偶函数，若
，则
____________；
是偶函数，∴
【变式2】求定积分：
【答案】∵
是偶函数，
∴
.
类型四：利用定积分求平面图形面积
5．求直线与抛物线所围成的图形面积. 思路点拨：画出简图，结合图形确定积分区间。
解析：如图，由得交点，，
所求面积：.
总结升华：求平面图形的面积体现了数形结合的思想，求图形的面积的一般步骤是： （1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键； （4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式； （5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三： 【变式1】求由曲线图形的面积.
（），，围成的平面
【答案】如图，由（）和，得交点；
法一：所求面积为矩形面积减去由曲线
，
，
（），
围成的平面图形的面积.
故所求面积为
法二：所求面积为。