内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:44:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
《大学物理简明教程》习题解答
习题一
1-1 |?r|与?r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明.
?r?r2?r1;
??drdtdrdtdvdt和
dvdt有无不
解:(1)?r是位移的模,?r是位矢的模的增量,即?r?r2?r1,
drdtdrdsdt?v?dt(2)
drdt是速度的模,即.
只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?叫做单位矢)?(式中rdt ∵有r?rr,则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量,
∴
题1-1图
dvdtdrdr与dtdt不同如题
1-1图所示.
(3)表示加速度的模,即量.
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以
??dvdv?d????vdtdtdt
??dvdva?dt,dt是加速度a在切向上的分
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与(dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度
和加速度时,有人先求出r=
而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结
dr22x?y,然后根据v=dtd2r,及a=dt2果,即
v=及a=
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角
???r坐标系中,有?xi?yj,
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
22?dx??dy???????dt??dt?22?d2x??d2y???dt2?????dt2??????22故它们的模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作
drv?dtdrd2r与2其二,可能是将dtdtdr说明dt?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2d2ra?2dt
误作速度与加速度的模。在1-1题中已
d2r不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,dt2也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分
2?d2r?d??????a径?2?r??dtdt??????。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r?在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速?v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点
的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j
???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1(4) dt
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ?? ?dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以v0(m·s?1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
图1-4
解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知
l2?h2?s2
将上式对时间t求导,得
2ldlds?2sdtdt
题1-4图
根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, ∴ 即
v船??v船v绳??dlds?v0,v船??dtdt
vdsldll???v0?0dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0??ss
或
将v船再对t求导,即得船的加速度
s
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x2,a的
单位为m?s?2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解: ∵
2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量:
12v?2x?2x3?c两边积分得 2
a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx
由题知,x?0时,v0?10,∴c?50
3?1v?2x?x?25m?s∴
1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tm?s?2,开始
运动时,x=5 m,v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位置.
dv?4?3tdt 解:∵
分离变量,得 dv?(4?3t)dt
a?积分,得
由题知,t?0,v03v?4t?t2?c12 ?0,∴c1?0
3v?4t?t22 故
又因为
3dx?(4t?t2)dt2分离变量,
v?dx3?4t?t2dt2
1x?2t2?t3?c22积分得
由题知 t?0,x0?5,∴c2?5
1x?2t2?t3?52故
所以t?10s时
v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 ?=2+3t3,
?式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?
解:
??d?d??9t2,???18tdtdt
?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时,
a??1an
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
(2)当加速度方向与半径成45ο角时,有
222即 R??R? 亦即 (9t)?18t 则解得
t3?tan45??22??2?3t3?2?3??2.6799 于是角位移为
rad
1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中s为
质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求:(1)t时刻质点的
加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.