内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:38:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习题1
1. 设???1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?,A??2,3,4?,B??3,4,5?,C??5,6,7?,求下列事件：
i)A?B; ii)A?(B?C).
3. 证明下列恒等式：
rrr?1i) Cn?Cn?1?Cn?1;
8?1888ii) Cn?Cn?C???C?1n?28.
7. 口袋内放有2个伍分、3个贰分、5个壹分钱的硬币，任取其中5个，求总值超过一角钱的概率。
8. 箱中盛有a个白球和?个黑球，从其中任意地接连取出k?1(k?1?a??)个球，如每球取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。
9. 一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率： i) 某一层有两位乘客离开；
ii) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开； iii) 恰有两位乘客在同一层离开； iv) 至少有两位乘客在同一层离开。
（假定乘客离开的各种可能排列具有相同的概率。）
10. 一列火车共有n节车厢，有k(k?n)个旅客上火车并随意地选择车厢。求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。
11. 设P(A)?x,P(B)?y且P(A?B)?z. 用x,y,z表示下列事件的概率： i) P(A?B); iii)P(A?B);
ii)P(A?B); iv)P(A?B).
13. 设事件A、B、C满足
1P(A)?p(B)?P(C),
41P(AC)?.
8
P(AB)?P(CB)?0,
试求事件A、B、C至少有一个发生的概率。
14. 将线段(0,a)任意折成三折，试求此三折线段能构成三角形的概率。
15. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是二小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。
16. 试证：如果P(AB)?P(A),则P(BA)?P(B)
18. 全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级的概率。 19. 当P(A)?a,P(B)?b时，证明：
P(AB)?a?b?1. b20. 进行摩托车竞赛，在地段甲、乙间布设了三个故障，在每一故障前停车的概率为0.1。从乙地到终点丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲、丙间竞赛者不停车的概率。
21. 卜里耶概型——设口袋里装有b个黑球，r个红球，任意取出一个，然后放回并再放入c个与取出的颜色相同的球，再向袋里取出一球，问：
i) 最初取出的球是黑的，第二次取出的也是黑色的概率；
ii) 如将上述手续进行n次，取出的正好是n1个黑球，n2个红球(n1?n2?n)的概率； iii) 用归纳法证明：任何一次取得黑球的概率都是
br;任何一次取得红球的概率都是; b?rb?riv) 用归纳法证明：第m次与第n次(m?n)取出都是黑球的概率是22. 利用概率论的想法证明恒等式（其中A?a均为正整数）：
b(b?c).
(b?r)(b?r?c)1?A?a(A?1)(A?a?1)(A?a)?3?2?1A?????. A?1(A?1)(A?2)(A?1)?(a?1)aa23. 两批相同的产品各有12件和10件，在每批产品中有一件废品。今任意地从第一批中抽出
一件混入第二批中，然后再从第二批中抽出一件，求从第二批产品中抽出的是废品的概率。
24. 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。
25. 为了传递消息，采用电报系统发出“点”和“划”的信号，根据统计，干扰的情况是：传送“点”时平均有
为5:3 ，求在接收的信号中，“点”与“划”恰好是发出信号的“点”与“划”的概率。
21失真，而传送“划”时有失真。已知在传送的信号中，“点”与“划”之比5327. 某仪器有三个灯炮，烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率相应地为0.1、0.2及0.3，并且相互独立。当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为0.25，当烧坏两个灯泡时为0.6，而当烧坏三个时为0.9。求仪器发生故障的概率。
28. 已知P(BA)?P(BA)，证明事件A、B相互独立。
29. 甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分。在一次射击中，甲“胜”的概率为a，乙“胜”的概率为?。设a??(a???1)，且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止，多得2分者胜，求甲、乙获胜的概率。
30. （小概率事件）设随机试验中某一事件A出现的概率??0，求在三次独立试验中A出现的概率，并证明：不断独立地重复做此试验时，A迟早会出现的概率为1，不论??0如何小。
31. 进行四产供销独立的试验，在每一次试验中A出现的概率为0.3。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为0.6；如果A出现不少于二次，则B出现的概率为1。试求B出现的概率。
32. 在四次独立试验中事件A至少出现一次的概率为0.59，试问在一次试验中出现的概率是多
少。
36. 在每一次试验中，事件A出现的概率为p，试问在n次独立试验中A出现偶数次的概率是多少？
37. 在间隔时间t内向电话总机呼叫k次的概率为Pt(k)，若在任意两个相邻的间隔时间内呼叫次数是相互独立的，求在间隔时间2t内呼叫8次的概率P2t(s)。
38. 已知自动织布机在?t这段时间内因故障而停机的概率为a??t?o(?t)（a是常数），并设机器在不重迭时间内停机的各个事件是彼此独立的。假定在时刻t0机器在工作着，试求此机器在由时刻t0到t0?t这段时间内不停止工作的概率P(t)（设P(t)与初始时刻t0无关）。
习题2
3. 设随机变数?具有连续型分布：
F(x)??f(t)dt,
??x试求下列随机变数的分布函数和密度函数：
i)??1/?;ii)???;iii)U?e?t.特别，若
?2x,当0?x?1; f(x)???0,其它求i)、ii)、iii)的密度函数。
4. 随机变数?的密度函数为
5. 问A为何值时，F(x)?A?e?x(0?x??)是一随机变数?的分布函数（设当x?0时，
F(x)?0）？
7. 设某动物生下r个蛋的概率是P(??r)??rr!e??。若每一个蛋能发育成小动物的概率是p，
且各个蛋能否发育成小动物是彼此独立的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为?p的泊松分布。
8. 在(0,a)线段上任意抛两个点（抛掷的二点的位置在(0,a)上独立地服从均匀分布）。试求两点间距离的分布函数。
9. 设随机变数?具有严格单调上升边疆的分布函数F(x)。求??F(?)的分布函数。
10. 设?是在任何有限区间(a,b)上均有P???(a,b)??0的连续型随机变数。其分布函数为
F?。如果?在[0,1]上服从无益发布，令??F??1(?)证明?具有与?相同的分布函数F?。
11. 设F1(x)、F2(x)为两个分布函数，问：i)F1(x)?F2(x)是否为分布函数？ii)若
a1?0,a2?0均为常数，且a1?a2?1。证明
a1F1(x)?a2F2(x)
为分机上函数。
12. 证明任何分布函数具有下列性质：
1?xZdF(Z)?0; x1limxdF(Z)?0; x??????Zlimxx???limxx?0?1?xZdF(Z)?0; x1limxdF(Z)?0. x?0????Z?13. 求证：如果F(x)是分布函数，则对任何h?0，函数
1x?h1x?h?(x)??F(y)dy; ?(x)?F(y)dy
hx2h?x?h也是分布函数。
14. 设二维随机变数(?,?)在以原点为中心，r为半径的圆上服从均匀分布，求联合密度函数及各边沿分布密度函数。
15. 设二维随机变数(?,?)的密度函数为
?2xy?x?,0?x?1,0?y?2; f(x,y)??3??0, 其它求：i) (?,?)的边沿分布密度函数；
ii)?,?的条件分布密度函数； iii)P(????1); P(???)及P???16. 设二维随机变数(?1,?2)的密度函数是
?11????. ?2??21x1k1?1(x2?.x1)k2?1e?x2.
?(k1)?(k2)求?1和?2的边沿分布密度函数.
18.设(?,?)具有下述联合分布密度函数，问?与?是否相互独立？
1??xxe,x?0,y?0;?2(1?y)i)f(x,y)?? ?0,其它?ii)f(x,y)?8xy,0?x?y?1
19.设随机变数(?,?)服从二维正态分布
f(x,y)?1e2?ab1?x2y2??2?22??ab????
x2y22求(?,?)取值于椭圆：2?2?r内的概率.
ab20.设随机变数?的密度函数为
f(x)?Ae?x (???x??)
求：i)系数A； ii)P(0???1)； iii)分布函数F(x).
21.i)设?是?0,??上的均匀分布，求??sin?的分布函数. ii)设?是??,?上的均匀分布，求??cos?的分函数. ?22?23.设?1和?2相互独立，并具有共同的几何分布P??i?k??pqk,(i?1,2,;k?0,1,2,?)。 i) 证明：
????P(?1?k?1??2?n)?ii) 求??max??1,?2?的分布： iii) 求?与?1的联合分布。
1 (k?0,1,?,n); n?124. 设随机变数?,?相互独立，且都服从泊松分布
m?1fi(m)?m!e??1, m?0,1,2,?;
f?(n)??m2n!e??21, n?0,1,2,?;