内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:56:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
求证：???也服从泊松分布，并且对于给定的???，?的条件分布是二项分布：
??1?? P(??k????N?b)?k,N,???1??2??25. 设?与?相互独立，且有下述分布：求???的分布。 i) (?,?)服从正态分布：
1?2(x2?y2)f(x,y)?e;
2?ii) ?与?都服从二项分布：
m?1??1?P?(m)?C2?????2??2?m2?m1 (m?0,1,2),
?1??1?P(n)?C??????3??3?n2n2?n (n?0,1,2);
iii) ?在[0,1]内服从均匀分布，?在[0,2]上服从辛普生分布：
y?[0,1],?y, ?f?(y)??2?y, y?[1,2],
?0, 其它;?iv) ?,?分别为(?5,1)与(1,5)内的均匀分布； v) ?服从N(a,?),?为[?b,b]上的均匀分布； vi) ?,?的密度函数分别为
1?f?(x)?e2, 0?x??
21?3f?(y)?e, 0?y??
3vii) 设随机变数?,?相互独立，?在[?h,h]上均匀分布，?有分布函数F?(y)。 26. 求证：如果随机变数?与?独立同分布：
yx?e?x, x?0;f?(x)?f?(x)??
x?0,?0, 则
i) ???与?/?； ii) ???与?/(???) 也是相互独立的。
27. 如果?与?相互独立，均服从N(0,1)，则?2??2与?/?相互独立。
28. 设连续型随机变数?,?相互独立，分别对下面三种情形求??以及???的分布函数： i) 分别有分布函数F1(x),F2(x); ii) 均匀分布于(?a,a)内； iii) 服从N(0,1)。
31. 设随机变数?,?相互独立，分别对下面二种情形，求?/?的分布函数： i) 皆服从N(0,1)分布； ii) 皆服从(0,a)上的均匀分布；
34. 设某车间有200台同一型号的车床。由于种种原因，每台车床时常需要停车。假定各台车
床的停车或开动是相互独立的，且每台车床有60%的时间开动，开动时需要消耗的电能为E。问至少要供给这个车间多少电能，才能以99.9%的概率保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。
习题3
1. 一个有n个钥匙的人要开他的门，他随机而独立地用钥匙试开。分别如下两种情形求试开次数的数学期望和方差：a)如果试开不成功的钥匙没有从以后的选取中除去；b)如果除去试开不成功的钥匙。
2. 如果随机变数?有几何分布：
P(??k)?pqk, (k?0,1,?).
证明：D(?)?qp.
3. 设P(??n)??21,n?1,2,?,求E(?)及D(?). n26. 设随机变数?服从指数分布：
?be?bx, 当x?0;f(x)??(b?0),
当x?0,?0, 求E(?)及D(?).
8. 设随机变数?的分布函数为
0,当x??1;??F(x)??a?barcsinx,当?1?x?1;
?1,当1?x,?求 a,b及E(?)、D(?).
9. （??分布）随机变数?的密度函数为
?Axa?1(1?x)??1,当0?x?1;f(x)??
0 ,其它?其中a?0,??0都是常数。求：i) 系数A; ii) E(?)及D(?).。
10. 设?服从瑞利分布：
0, 当x?0;? ?f(x)??x?x3(a?0),
2a?e,当x?0.?a求E(?)及D(?).。
11. 随机变数?的密度函数为
f(x)?求E(?)及D(?).。
1?xe, ???x??, 212. 气体分子的速度服从麦克斯威尔分布
x??1?2ef(x)??Axe,当x?0;
? 当x?0,?0, 1其中a?0为常数。求：i) 系数A; ii) 气体分子速度的均值及方差。
13. 试问：联接以R为半径的圆周上一已知点与圆周上任意点的弦长的数学期望是多少？
19. 设?(x)?0，且当t?0时是单调上升函数。又设E[?(?)]?M存在。证明：对任意t?0，有
P???t??M/?(t).
20. 求证：若eai??,(a?0)则
P(??x)?e?ax.E(eai).
21. 证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过1/4。 22. 证明：对取值于区间(a,b)内的随机变数?，恒成立不等式：
(b?a)2a?E(?)?b; D(?)?.
423. 设随机变数?服从N(a,?)，度求E??a。 25. 设k为正整数且E?k??，证明E?r??。（1?r?k为正整数）。
26. 设?服从二项分布b(n;p)。证明
E(??np)k?npq(p3?q3)?3p2q2(n2?n).
30. 设随机变数(?,?)股从二维正态分布：E(?)?E(?)?0,D(?)?D(?)?1,??R.试证：
E[max(?,?)]?1?R?.
31. 在长为l的线段上任意取两点。求：i) 两点间距离的期望及方差；ii) 求两点间距离的n次
方的期望及方差。
34. 设随机变数(?,?)的密度函数为
f(x,y)?Asin(x?y), 0?x??2, 0?y??23.
求：i) 系数A; ii) E(?)、E(?)、D(?)、D(?)；iii) 协方差及相关系数?.
35. 设随机变数
n?1,?2,??n?m(n?m)独立同分布且有有限方并有。试求
????k与ξ???m?k之间的相关系数。
k?1k?136. 证明：对随机变数?、?,E(??)?E(?)?E(?)或D(???)?D(?)?D(?)的充要条件为：
??0.
38. 证明：如果随机变数?,?相互独立，则
D(??)?D(?)?D(?)?[E(?)]2D(?)?[E(?)]2D(?).
39. 设x1,x2,?,xk是随机变数?的可能值并且为正值。求证：当n??时，
E(?n?1)a)?maxxj;
E(?n)1?j?kb)nE(?n)?maxxj.
1?j?k40. 设随机变数?的分布函数为F(x)，求证：如果E(?)存在，则
E(?)???1?F(x)?F(?x)?dx.
0?并且，要使E(?)存在，必须有
limxF(x)?limx[1?F(x)]?0
x???x??41. 已知(?,?)的联合密度函数为
?3x,0?y?x,0?x?1, f(x,y)???0,其它.求E????
习题4
1. 若随机变数?服从几何分布：
???1?1????. ?及D???2?2??P???k??pqk,k?0,1,?,
其中0?p?1,q?1?p.求?的特征函数?(t),E(?)及D(?).
2. 求证：若随机变数?的特征函数是