内容发布更新时间 : 2024/11/19 5:55:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 5/12 7/12
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?0x?1?1?FX(x)??1?x?2；?2??1x?2?0y??1?5?FY(y)???1?y?0.
?12??1y?0?k(6?x?y)0 0其他? 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? （1）常数k； （2）求P{X?1,Y?3}； （3）P{X?1.5}； （4）P{X?Y?4} 1（1）?0?2k(6?x?y)dydx?1?k?; 81313（2）P(X?1,Y?3)??0?2(6?x?y)dydx?; 8824（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,2?Y?4)??1.50?42127(6?x?y)dydx?; 832（4）P(X?Y?4)??02?4?x212(6?x?y)dydx?. 8326 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量及其分布（二） 一、选择题： 1、设随机变量X与Y独立，且XN(?1,?12),Y2N(?2,?2)，则Z?X?Y仍服从正态分布， 且有 [ D ] （A）Z (C) Z2N(?1??2,?12??2) (B) Z2N(?1??2,?12??2) (D) Z2N(?1??2,?12??2) 2N(?1??2,?12??2) 2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则 [ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布 （B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布 （D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题： 27 ?2xy?x?,0?x?1,0?y?21、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??， 3?其他.?0,则P(X?Y?1)? 。 11?x1xxy2x25x37(x?)dy?1??(??)dx? 0633682 1?P(X?Y?1)?1??dx?00?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}与 ??0,其他B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?3，则a? 4a034 。 P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x2a3dx?1? 88P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]2 a3a32a63? ?2(1?)?(1?)?1?88644三、计算题： ab,P{Y??k}?2,(k?1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)kk的联合概率分布以及X?Y的概率分布。 1．已知P{X?k}? 解：由归一性 ?P(X?k)?a?kaa11a6???1 所以 a? 23611bb49b36???1 所以 b? 493649 Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 由归一性 ?P(Y??k)?b?k(X,Y)的联合概率分布 由于 P(X?Y??2)? P(X?Y??1)?24 539666? 5394928 P(X?Y?0)?25112672 P(X?Y?1)? P(X?Y?2)? 539539539X?YP?224539?16653901251126539539272 539X?Y的概率分布为： ?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率密度函 其他?0,数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z???z0f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy ?3e?3x(1?e?4(z?x))dx z?(?e?3x?3ex?4z)|0 ?1?4e?3z?3e?4z 0? 即 FZ(z)???3z?4z?1?4e?3ez?0z?0 所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)?? 或 当z?0时，fZ(z)?0 当z?0时， fZ(z)? ?0??3z?4z?12e?12ez?0z?0 ?0????f(x,?zx) dx?z12e?3x?4(z?x)dx ?4zxz ?12e?e|0 29 ?12e?4z?(ez?1) 所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)?? （2）由于fX(x)? fY(y)?0??3z?4z?12e?12e??z?0z?0 ?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydy?3e?3x 0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydx?4e?4y 0??则X与Y相互独立。 当z?0时，FM(z)?0 当z?0时，FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z) ?3z?4z ?FX(z)FY(z)?(1?e)(1?e) 所以 fM(z)?? 0??3z?4z?4z?3z?3z?4z?7z?3e(1?e)?4e(1?3)?3e?4e?7ez?0z?0 （3） 当z?0时，FN(z)?0 当z?0时， FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z) ?3z?4z?1?e?7z ?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?ee 所以 fN(z)?? ?0?7z?7ez?0z?0 3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。 解：（1）fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0?z?x? 1) 当z?0或z?2时，fZ(z)?0 30