概率论与数理统计 - 同济大学第二版练习册答案

内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:37:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

X

Y 0 1 p? j

-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 5/12 7/12

pi?

1/2

1/2

?0x?1?1?FX(x)??1?x?2;?2??1x?2?0y??1?5?FY(y)???1?y?0.

?12??1y?0?k(6?x?y)0

0其他? 4.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? (1)常数k; (2)求P{X?1,Y?3}; (3)P{X?1.5}; (4)P{X?Y?4}

1(1)?0?2k(6?x?y)dydx?1?k?;

81313(2)P(X?1,Y?3)??0?2(6?x?y)dydx?;

8824(3)P(X?1.5)?P(X?1.5,2?Y?4)??1.50?42127(6?x?y)dydx?; 832(4)P(X?Y?4)??02?4?x212(6?x?y)dydx?. 8326

概率论与数理统计练习题

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第三章 多维随机变量及其分布(二)

一、选择题:

1、设随机变量X与Y独立,且XN(?1,?12),Y2N(?2,?2),则Z?X?Y仍服从正态分布,

且有

[ D ] (A)Z (C) Z2N(?1??2,?12??2) (B) Z2N(?1??2,?12??2) (D) Z2N(?1??2,?12??2) 2N(?1??2,?12??2)

2、若(X,Y)服从二维均匀分布,则 [ B ] (A)随机变量X,Y都服从均匀分布 (B)随机变量X,Y不一定服从均匀分布 (C)随机变量X,Y一定不服从均匀分布 (D)随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题:

27

?2xy?x?,0?x?1,0?y?21、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??, 3?其他.?0,则P(X?Y?1)? 。

11?x1xxy2x25x37(x?)dy?1??(??)dx?

0633682 1?P(X?Y?1)?1??dx?00?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布,X的密度函数为f(x)??8,设A?{X?a}与

??0,其他B?{Y?a}相互独立,且P(A?B)?3,则a? 4a034 。

P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x2a3dx?1? 88P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]2

a3a32a63? ?2(1?)?(1?)?1?88644三、计算题:

ab,P{Y??k}?2,(k?1,2,3),X与Y独立,确定a,b的值,求出(X,Y)kk的联合概率分布以及X?Y的概率分布。

1.已知P{X?k}? 解:由归一性

?P(X?k)?a?kaa11a6???1 所以 a? 23611bb49b36???1 所以 b? 493649 Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 由归一性

?P(Y??k)?b?k(X,Y)的联合概率分布

由于 P(X?Y??2)? P(X?Y??1)?24 539666? 5394928

P(X?Y?0)?25112672 P(X?Y?1)? P(X?Y?2)? 539539539X?YP?224539?16653901251126539539272 539X?Y的概率分布为:

?12e?3x?4y,x?0,y?02.随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??,分别求下列概率密度函

其他?0,数:(1)Z?X?Y; (2)M?max{X,Y}; (3)N?min{X,Y}。 解:(1)FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z???z0f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy

?3e?3x(1?e?4(z?x))dx

z?(?e?3x?3ex?4z)|0

?1?4e?3z?3e?4z

0? 即 FZ(z)???3z?4z?1?4e?3ez?0z?0

所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)?? 或 当z?0时,fZ(z)?0 当z?0时, fZ(z)? ?0??3z?4z?12e?12ez?0z?0

?0????f(x,?zx) dx?z12e?3x?4(z?x)dx

?4zxz ?12e?e|0

29

?12e?4z?(ez?1)

所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)??

(2)由于fX(x)? fY(y)?0??3z?4z?12e?12e??z?0z?0

?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydy?3e?3x

0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydx?4e?4y

0??则X与Y相互独立。 当z?0时,FM(z)?0

当z?0时,FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z)

?3z?4z ?FX(z)FY(z)?(1?e)(1?e)

所以 fM(z)??

0??3z?4z?4z?3z?3z?4z?7z?3e(1?e)?4e(1?3)?3e?4e?7ez?0z?0

(3) 当z?0时,FN(z)?0 当z?0时,

FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z)

?3z?4z?1?e?7z ?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?ee 所以 fN(z)??

?0?7z?7ez?0z?0

3.设X与Y是独立同分布的随机变量,它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 (1)Z?X?Y的分布函数与概率密度函数; (2)U?2X?Y的概率密度函数。 解:(1)fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0?z?x? 1) 当z?0或z?2时,fZ(z)?0

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