内容发布更新时间 : 2025/4/3 10:04:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院
x?bt0?r?b?1?t0?x?b?1b而
a111y0?at0?y0?(x0?b?1)(by0?ax0?ab?a)?(N?ab?a)?(ab?a?b?ab?a)??1bbbby?y0?at0?0?t0??0a这就证明了当N?ab?a?b时，原方程有非负整数解． 1．证明定理2推论。
推论 单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理点），可以写成
2aba2?b2a2?b2(?22,?22)或(?22,?22ab2) a?ba?ba?ba?b的形式，其中a与b是不全为零的整数。
证明：设有理数x?ln，y?（m ? 0）满足方程x2 ? y2 = 1，即l2 ? n2 = m2，mm于是得l = ?2abd，n = ?(a2 ? b2)d，m = ?(a2 ? b2)d或l = ?(a2 ? b2)d，m = ?2abd，
2aba2?b2a2?b22ab,?)或(?,?)。反之，m = ?(a ? b)d，由此得(x, y) =(?22222222a?ba?ba?ba?b2
2
代入方程x2 ? y2 = 1即知这样的点在单位圆周上。
2．求出不定方程x2?3y2?z2,(x,y)?1,x?0,y?0,z?0的一切正整数解的公式。 解：设不定方程x2?3y2?z2,(x,y)?1有解则 (1)3/z-x或3/z+x因为3y2?z2?x2?(z?x)(z?x)
?3/(z?x)(z?x)?3/z?x或3/z+x
x2?3y?z?22y22z?xz?x???z?x?或者y??z?x??33
得3/z?x或3/z?x以下不妨设3/z?x
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《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院
②?x,z??1， 设 (x,z?)则d,222d/x?,d/zy2d?z/3?x
22,若,3/d,?9/x,9/z?9/3y?3/y ?3/?x,y?与?x,y??1矛盾!
这样?3,d??1?d/y2?d/y?d2/3y而d/x?d/?x,y??d?1
2?③?z?x,z?x??1或2， 设t??z?x,z?x??t/(z?x)?(z?x)?2x，
t/(z?x)?(z?x)?2z?t/?2x.2z??2 即 t?1或t?2
④若
?z?x,z?x??1,则??2z?x?,z?x??1, ?3?从而3y??z?x??z?x??由引理可设
y2?z?x??z?x? 3z?x22?a,z?x?b,y?ab 3从而? ， 为证得x,z为整数， ?x,z??1, 必须有a ， b均为奇数，且3⑤若?z?x,z?x??2??a2?b
2?z?xz?x??z?xz?x?,?1?,????1 2262????2从而3y设
2z?xz?x?y? ??z?x??z?x??????62?2?z?x2z?x2y2222?a,?b,?ab,即x?3a?b,y?2ab,z?3a?b， 622
其中a,b为一奇一偶，且有?a,b??14．解不定方程：x2 ? 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。
解：设(z ? x, z ? x) = d，易知d = 1或2。由(z ? x)(z ? x) = 3y2得z ? x = 3da2，z ? x = db2，y = dab或z ? x = db2，z ? x = 3da2，y = dab，a > 0，b >