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2004年考硕数学(二)真题
一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1(2)设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值
3??y?t?3t?1范围为____..
(3)
?1??dxxx?12?_____..
?z?z??______. ?x?y(4)设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3(5)微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y?x?16的特解为_______. 5?210???(6)设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA??E, 其中A?为A的伴随矩
?001???阵, E是单位矩阵, 则B?______-.
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ) (7)把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???2x20tantdt, ???x0sint3dt排
列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A)?,?,?. (B)?,?,?.
(C)?,?,?. (D)?,?,?. (8)设f(x)?x(1?x), 则
(A)x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. (B)x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (C)x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (D)x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.
??
??
(9)limlnn(1?)(1?)?(1?)等于
n??1n22n2nn2(A)(C)2?12ln2xdx. (B)2?lnxdx.
1222?1ln(1?x)dx. (D)?1ln2(1?x)dx ??
(10)设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得
(A)f(x)在(0,?)内单调增加. (B)f(x)在(??,0)内单调减小. (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).
(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). (11)微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为
(A)y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). (B)y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). (C)y??ax2?bx?c?Asinx.
(D)y??ax2?bx?c?Acosx (12)设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则
1?x2??
??
?22???f(xy)dxdy等于
D(A)
??1dx??1?x?0dy?0?212f(xy)dy. f(xy)dx.
(B)2(C)(D)
2y?y2?0d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.
f(r2sin?cos?)rdr
?0?d????
(13)设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010?????(A)?100?. (B)?101?.
?101??001??????010??011?????(C)?100?. (D)?100?.
?011??001?????(14)设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
??
??
三. 解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
(15)(本题满分10分)
1求极限lim3x?0x
??2?cosx?x?????1?.
3??????(16)(本题满分10分)
设函数f(x)在(??,??)上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.
(17)(本题满分11分) 设f(x)?
(18)(本题满分12分)
?xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.
ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).
(Ⅰ)求
S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.
t???V(t)F(t)22(19)(本题满分12分)设e?a?b?e2, 证明lnb?lna?4(b?a). e2
(20)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为
700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.
(21)(本题满分10分)设z?f(x2?y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求
?z?z?2z. ,,?x?y?x?y
(22)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
(23)(本题满分9分)
?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角
?1a5???化.
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一. 填空题
(1)0 .
【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.
【详解】显然当x?0时,f(x)?0;
1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim?lim2n??nx2?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,
,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.
(2)(??,1)(或(-?,1]).
?x?x(t)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 ?
y?y(t)?d2yd2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)定义的 求出二阶导数,再由 2?0 确定x的取值范围. ?23dxdx(x?(t))dydy3t2?3t2?12dt【详解】 , ??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3d2y?0 ? t?0. 令 2dx3x?1?x?(??,1]时,又 x?t?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(?t?0时,
曲线凸.)