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运筹学(第3版) 习题答案 1
运筹学1至6章习题参考答案
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23 产品 资源 材料(kg) 设备(台时) 利润(元/件) A 1.5 3 10 B 1.2 1.6 14 C 4 1.2 12 资源限量 2500 1400 根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
maxZ?10x1?14x2?12x3?1.5x1?1.2x2?4x3?2500?3x?1.6x?1.2x?140023?1? ?150?x1?250??260?x2?310?120?x3?130???x1,x2,x3?01.2 建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表1－24所示：
每套窗架需要材料 表1－24 窗架所需材料规格及数量 型号A 型号B 长度（m） A1：2 A2：1.5 需要量（套） 数量(根) 2 3 300 长度(m) B1：2.5 B2：2 400 数量(根) 2 3 问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解】 第一步：求下料方案，见下表。 方案 B1 B2 A1 A2 2.5 2 2 1.5 一 2 0 0 0 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0.5 800 1200 600 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0 第二步：建立线性规划数学模型 设xj（j=1,2,…，10）为第j种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
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minZ??xjj?1?2x1?x2?x3?x4?800??x2?2x5?x6?x7?1200 ??x3?x6?2x8?x9?600?x?2x?2x?3x?9007910?4??xj?0,j?1,2,L,10（2）余料最少数学模型为
minZ?0.5x2?0.5x3?x4?x5?x6?x8?0.5x10?2x1?x2?x3?x4?800??x2?2x5?x6?x7?1200??x3?x6?2x8?x9?600?x?2x?2x?3x?9007910?4??xj?0,j?1,2,L,10
1.3某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。
表1－25 1 2 3 4 5 6 月份 产品成本(元/件) 300 330 320 360 360 300 销售价格(元/件) 350 340 350 420 410 340 （1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型； （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。 【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
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maxZ??300x1?350y1?330x2?340y2?320x3?350y3?360x4?420y4?360x5?410y5?300x6?340y6?x1?800??x1?y1?x2?800?x1?y1?x2?y2?x3?800??x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?800?x?y?x?y?x?y?x?y?x?800233445?112?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?x6?800（1）???x1?y1?200??x?y?x?y?2002?112??x1?y1?x2?y2?x3?y3?200???x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?200??x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?200???x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?x6?y6?200?x,y?0;j?1,2,L,6?jj
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下 第1年 第2年 第3年 数学模型为
项目一 x11 x21 x31 项目二 x12 项目三 x23 项目四 x34 运筹学(第3版) 习题答案 4
maxZ?0.2x11?0.2x21?0.2x31?0.5x12?0.6x23?0.3x34?x11?x12?30000???1.2x11?x21?x23?30000??1.5x12?1.2x21?x31?x34?30000???x12?20000?x?15000?23?x34?10000???xij?0,i?1,L,3;j?1,L4最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26 成品油 高级汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 ≥94 一般汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 ≥84 ≤1 航空煤油 轻油、裂化油、重油、残油 一般煤油 轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1调合而成 1.5
半成品油 辛烷值 蒸汽压：公斤／平方厘米 利润(元/桶) 5 4.2 3 半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。 表1－27
1中石脑油 2重整汽油 3裂化汽油 4轻油 5裂化油 6重油 半成品油 辛烷值 80 115 105 蒸汽压：公斤／ 1.0 1.5 0.6 平方厘米 每天供应数量2000 1000 1500 1200 1000 1000 (桶) 问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。 解 设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。 总利润：
7残油 0.05 800 Z?5(x11?x12?x13)?4.2(x21?x22?x23)?3(x34?x35?x36?x37)?1.5(x44?x45?x46?x47)高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
80x11?115x12?105x1380x21?115x22?105x23?94,84??94
x11?x12?x13x21?x22?x23航空煤油蒸气压约束
x34?1.5x35?0.6x36＋0.05x37?1
x34?x35?x36＋x37一般煤油比例约束
x44:x45:x46:x47?10:4:3:1
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即
x4410x454x463?,?,? x454x463x471半成品油供应量约束
x11?x21?2000x12?x22?1000x13?x23?1500x34?x44?1200 x35?x45?1000x36?x46?1000x37?x47?800整理后得到
maxZ?5x11?5x12?5x13?4.2x21?4.2x22?4.2x23?3x34?3x35?3x36?3x37?1.5x44?1.5x45?1.5x46?1.5x47??14x11?21x12?11x13?0???14x21?21x22?11x23?0??4x21?31x22?21x23?0??0.5x35?0.4x36?0.95x37?0?4x?10x?045?44?3x45?4x46?0??x46?3x47?0??x11?x21?2000?x?x?1000?1222?x13?x23?1500??x34?x44?1200?x35?x45?1000??x36?x46?1000?x?x?800?3747??xij?0;i?1,2,3,4;j?1,2,L,71.6 图解下列线性规划并指出解的形式：
maxZ?5x1?2x2?2x1?x2?8?(1) ?x1?3??x2?5??x1,x2?0
【解】最优解X＝（3，2）；最优值Z=19