内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:13:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 参数方程
参数方程化为普通方程
01两种不同形式,02直参数方程和普通方程是曲线方程的□普通方程用代数式□03借助于参数间接地反映点的坐标之间接表示点的坐标之间的关系;参数方程是□的关系.两者之间可以互化,将参数方程化成普通方程的常用方法有:
(1)代数法消去参数
4解出参数,然后把参数的表达式①代入法:从参数方程中选出一个方程,0□05代入另一个方程,消去参数,得到曲线的普通方程. □②代数运算法:通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形,06代数运算,然后把参数方程中的两个方程进行□消去参数,得到曲线的普通方程.
(2)利用三角恒等式消去参数
07三角如果参数方程中的x,y都表示为参数的三角函数,那么可以考虑用□函数公式中的恒等式消去参数,得到曲线的普通方程.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用.( )
(2)将普通方程化为参数方程时,选取的参数不同,同一条曲线的参数方程会有不同的形式.( )
?x=3+cosθ,
(3)?(θ为参数)化成普通方程为(x-3)2+(y-2)2=1.( ) ?y=2-sinθ?x=2cost,(4)?(t为参数,π≤t≤2π)化成普通方程为x2+y2=4.( ) ?y=2sint答案 (1)√ (2)√
?cosθ=x-3,
(3)√ 由已知?由三角恒等式cos2θ+sin2θ=1,可知(x-3)2
?sinθ=2-y+(y-2)2=1,这就是它的普通方程.
(4)× ∵π≤t≤2π, ∴-2≤x≤2,-2≤y≤0,
∴普通方程是x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0). 2.做一做
2
?x=cosθ,
(1)参数方程?(θ为参数)表示的曲线是( ) 2
?y=sinθ
A.直线 B.圆 C.线段 D.射线 答案 C
解析 x=cos2θ∈[0,1],y=sin2θ∈[0,1], ∴x+y=1,(x∈[0,1])为线段.
2
?x=2+sinθ,
(2)将参数方程?(θ为参数)化为普通方程为( ) 2
y=sinθ?
A.y=x-2 B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1) 答案 C
解析 代入法,将方程化为y=x-2,但x∈[2,3],y∈[0,1],故选C. ?x=sinθ,
(3)参数方程?(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________.
?y=cos2θ答案 y=-2x2+1(-1≤x≤1)
解析 由于cos2θ=1-2sin2θ,故y=1-2x2, 即y=-2x2+1(-1≤x≤1). 1x=t+??t,
(4)将参数方程?12
y=t+??t2答案 x2-y=2(y≥2)
1?1?解析 y=t2+t2=?t+t?2-2=x2-2.
??
1
又y=t2+t2≥2,故所求普通方程为x2-y=2(y≥2).
探究1 把参数方程化为普通方程
例1 将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线.
(t为参数)化为普通方程为________.
?x=1-3t,(1)?(t为参数);
y=4t?
?x=1+4cost,(2)?(t为参数,0≤t≤π);
y=-2+4sint?
2
?x=2+sinθ,(3)?(θ为参数).
y=-1+cos2θ?
1-x
解 (1)由已知t=3,代入y=4t中,得4x+3y-4=0,它就是所求的普通方程,它表示的是一条直线.
(2)∵0≤t≤π,-1≤cost≤1,0≤sint≤1. ∴-3≤x≤5,-2≤y≤2,
(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16. ∴(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2), 它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.
(3)由y=-1+cos2θ可得y=-2sin2θ,把sin2θ=x-2代入y=-2sin2θ可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0,
又∵2≤x=2+sin2θ≤3,∴所求的方程是2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是一条线段.
(1)将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如sin2α+cos2α=1,(ex
2
1-k??2?2k?2-x2-x2x
+e)-(e-e)=4,?2?=1等. 2?+?
?1+k??1+k?
(2)把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性.
【跟踪训练1】 将下列参数方程化为普通方程:
?x=t+1,(1)?(t为参数); ?y=1-2t?x=5cosθ,(2)?(θ为参数).
y=4sinθ-1?
解 (1)由x=t+1≥1,有t=x-1,代入y=1-2t, 得y=-2x+3(x≥1),这是以(1,1)为端点的一条射线. ?x=5cosθ,(2)由?
?y=4sinθ-1
x
?cosθ=?5, ①得?y+1??sinθ=4, ②
2
x2?y+1?
①+②得25+16=1.
2
2
探究2 把曲线的普通方程化为参数方程
例2 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. ?x-1?2?y-2?2
(1)3+5=1,x=3cosθ+1(θ为参数); (2)x2-y+x-1=0,x=t+1(t为参数).
?x-1?2?y-2?2
解 (1)将x=3cosθ+1代入3+5=1,得y=2+5sinθ. ?x=3cosθ+1,∴?(θ为参数). ?y=5sinθ+2这就是所求的参数方程.
(2)将x=t+1代入x2-y+x-1=0,得 y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1=t2+3t+1. ?x=t+1,∴?(t为参数). 2
?y=t+3t+1这就是所求的参数方程.