内容发布更新时间 : 2024/12/26 8:37:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-3 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为常
数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明(1) t时刻的速度为v=
v0e?(k)tm;(2) 由0到t的时间内经过的距离为 )[1-e?(k)tmmv0x=(kmv0()];(3)停止运动前经过的距离为k;(4)
1证明当t?mk时速度减至v0的e,式中
m为质点的质量.
?kvdv?mdt
答: (1)∵
分离变量,得
dv?kdt?vma?t?kdtdv???v0v0m即
v
v?ktln?lnemv0
∴ v?v0e0(2)
(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,
k?mt
x??vdt??v0etk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k
故有 (4)当
mt=kx???v0e0?k?mtdt?mv0k
时,其速度为
v?v0ekm?m?k?v0e?1?v0e1即速度减至v0的e.
2-4
?vm一质量为的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛
出,若忽略空气阻力,求质点落地时相对抛射时的动量的增量. 解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-4图
在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性,故末速度与x轴夹角亦为30o,则动量的增量为
????p?mv?mv0
?mv由矢量图知,动量增量大小为0,方向竖直向下.
?F?(10?2t)i2-5 作用在质量为10 kg的物体上的力为N,式中t的
单位是s,(1)求4s后,这物体的动量和速度的变化,以及力给
予物体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200 N·s,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一个具有初速度??6jm·s-1的物体,回答这两个问题. 解: (1)若物体原来静止,则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i00????p1?v1??5.6m?s?1im????1I1??p1?56kg?m?si
,沿x轴正向,
若物体原来具有?6m?s?1初速,则
,
????同理, ?v2??v1,I2?I1
这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.
(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即
0?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是 t??????p2?p?p0??Fdt??p1I??(10?2t)dt?10t?t20t
亦即 t2?10t?200?0
解得t?10s,(t??20s舍去)
2-6
速时,它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.
解: (1)由题意,子弹到枪口时,有
F?(a?bt)?0,得
?1vm?s0一颗子弹由枪口射出时速率为,当子弹在枪筒内被加
t?ab
(2)子弹所受的冲量
ab代入,得
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
将
t?(3)由动量定理可求得子弹的质量
???????2-7设F合?7i?6jN.(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km?F时,求所作的功.(2)如果质点到r处时需0.6s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg,试求动能的变化.
?解: (1)由题知,F合为恒力,
???????A?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k) ∴ 合a2I?2b
Ia2m??v02bv0 ??21?24??45J
P?(2) (3)由动能定理,?Ek?A??45J
-1
2-8 如题2-18图所示,一物体质量为2kg,以初速度v0=3m·s从斜面A点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B点后压缩弹簧20cm后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有
?frs?12?1?kx??mv2?mgssin37??2?2?
A45??75w?t0.6
12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
式中s?4.8?0.2?5m,x?0.2m,再代入有关数据,解得
k?1390N?m-1
题2-8图
再次运用功能原理,求木块弹回的高度h?
1?frs??mgs?sin37o?kx22
代入有关数据,得 s??1.4m,
则木块弹回高度
2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,试证碰后两小球的运动方向互相垂直. 证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有
121212mv0?mv1?mv2222 h??s?sin37o?0.84m
即
①
22v0?v12?v2
题2-9图(a) 题2-9图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有
???mv0?mv1?mv2
???v0?v1?v2亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足
???vvv01勾股定理,且以为斜边,故知与2是互相垂直的. 2-10一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为, 质点
受到一个沿x负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量
???v?vxi?vyj