内容发布更新时间 : 2024/5/13 2:12:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习 题 六
1.设有总体X的10个独立观察值
19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3 求样本均值X，样本方差S2和样本二阶中心矩Sn2.
2.设X1,X2,…,Xn是来自于U(0,?)的样本,求X?1?与X?n?的分布函数和密度函数.
3.从总体N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,?,X5.求: (1)样本均值大于13的概率; (2)样本极小值小于10的概率; (3)样本极大值大于15的概率.
4.从总体N?240,202?中独立地进行两次抽样,容量分别为36和49,那么这两个样本均值之差的绝对值不超过10的概率是多少?
5.设某电子元件的寿命(时数)服从参数为??0.0015的指数分布,即有密度f?x??0.0015e?0.0015x?x?0?.今测试6个元件,并记录下它们各自失效的时间(单
位:小时).试问:
(1)至800小时时没有一个元件失效的概率是多少? (2)至3000小时时所有元件都失效的概率是多少?
6.设总体服从N(20,3),问应取样本容量n为多大,才能以0.95的概率保证样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.3?
?10?27.设X1,X2,?,X10为N(0,0.3)的样本,求C使P??Xi?C??0.95.
?i?1?28.已知T?t?n?,则T?F?1,n?.
29.设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N??,?2?的样本,X与S___2分别为样本均
值和样本方差;又设Xn?1与X1,X2,?,Xn独立同分布,试求统计量
1
nn?1Xn?1?XS和nn?1(Xn?1?X)S22
的分布.
10.设X1,X2是来自N?0,?2?的样本.
?X1?(1)求
?X1?X2?X2?22的分布;
(2)求常数k,使
2??X?X????12P??k??0.10 22????X1?X2???X1?X2??11.设X1,X2,?,X5是来自总体N?0,?C?X1?X2?X232?的样本.求常数C,使统计量
?X24?X25服从t-分布.
12.设X1,X2,?,Xn是来自指数分布
??e??x,f(x)???0,___x?0x?0 (?>0)
的样本,证明2n?X??2?2n?.
2213.设从正态总体N(?,?)中抽取一容量为16的样本，这里?,?未知.S为样本方差.求:
?S2?2(1)P?2?2.0385?; (2)D(S).
???214.设总体X~b(1,p),X1,X2,?,Xn是来自X的样本.
n2(1)求?Xi的分布律；(2)求E(X),D(X),ES.
i?1215．设(X1,X2,?,Xn)是来自总体X的样本.记
2
Xn?1ni?Xni?1,S?2n1ni?(Xni?1?Xn)2现添加一次试验,得样本(X1,X2,?,Xn,Xn?1).再记
Xn?1?则有下列递推公式:
Xn?1?Xn?Sn?1?2X?n?1i?11n?1i,S2n?1?(X?n?1i?11n?1i2?Xn?1)
1n?12(Xn?1?Xn), 1n?1(Xn?1?Xn)].
2nn?1[Sn?16.设总体X的容量为50的样本频数分布为
xi ni 1 10 4 15 6 25
求X的经验分布函数.
17.设总体X的容量为100的样本观察值如下:
15 20 15 20 25 25 30 15 30 25
15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25
30 43 35 45 30 45 30 45 45 35
作总体X的直方图.
3
1.使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量,其结果为(单位:mm)
232.50 232.48 232.15 232.52 232.53 232.30 232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30
用矩估计法估计测量的真值和方差(设仪器无系统误差). 解 设?为待测量的真值,则测量值Xi与?有以下关系式
Xi????i,E?i?0,D(?i)??,i?1,2,?,12
2故?和?2的矩估计值为
??X?232.4025,?? ?2?S?2n(X?12i?1112i?X)?0.02555
22.设总体X服从正态N(?,1),今观察了20次 ,只记录是否为负值,若事件
?X?0?出现了14次,试按频率估计概率的原理,求?的估计值.
解 令
1420?P?X?0??P?X????????(??)
查正态分布表得???0.525．
3.设总体X具有密度函数
?2?2(??x),0?x?? f(x:?)????0,其它?X1,X2,?,Xn是其样本,求?的矩估计.
解 EX???3X． ???0x2?(??x)dx?2?2?10t(1?t)dt??3，由矩法令X??3，解得
4.设X~b(N,p),0?p?1,X1,X2,?,Xn为其样本.求N和p的矩估计.
pS,解 因 EX?Np,D(X)?Np(1?p)，由例7-1，令X?N2nNp?p1(?)
Sp?1?n,解得?X
2??X． N?p4
5.设总体X的密度函数(或分布律)为f(x;?),X1,X2,?,Xn为其样本,求下列情况下?的极大似然估计.
??x??e,x?0,1,2??f(x;?)??x! (??0)
?0,其它???1???x,0?x?1f(x;?)?? (??0)
其它??0,(1)(2)(3)??1??x?,x?0???xef(x;?)?? (?已知)
其它??0,?(4)??rr?1??xxe,x?0? (r已知) f(x;?)???(r)?其它?0, (5)?1??x?e,f(x;?)????0,?x?0x?0 (??0)
解 (1似然函数为 )
nn L(?)??i?1?XieXi!????n?Xii?1eXi!?n???nnXeXi!?n?
?i?1?i?1似然方程为
?lnL?(???)nX?n?0
???X． 解得?(2)似然函数为
nn L(?)?
??Xi?1??1i??(?Xi)i?1n??1
5