内容发布更新时间 : 2025/5/8 19:57:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
即在a?b?1下，求
a2n1?1?b2n2?1的最小值,求得a?n1?1n1?n2?2，b?n2?1n1?n2?2.
15.设总体X的密度函数为
??1,f(x;?)???0,???????,X1,X2,?,Xn为其样本.
??12?x???12
其它(1)求参数?的极大似然估计; (2)证明X及
12?X(1)?X(n)?都是?的无偏估计量,问哪个较有效?
解 (1) 似然函数为 L(?)?1,?? L(?)?1,??即满足条件X(n)?121212?X1,X2,?,Xn????X(1?)X12??)?(1212
n
???X(1)?的任何?都能使L(?)?1而达到最大值，从而?121n,X(1)?12??]，一般取?112n(??1212(X(1)?X(n))． 12)?2的极大似然估计是整个区间[X(n)?(2) EX?EX??，D(X)?X(1)的密度为
D(X)????112n．
1?1n?1?n(?x??)?,??x???;?)?2 f1(x?2?0,其它?X(n)的密度为
1 21n?11?)?,??x????n(x???;?)? fn(x?22?0,其它?(X(1),X(n))的密度为
11
1 2
11?n?2?n(n?1)(y?x),???x?y???f1n(x,y)??22?0,其它?nn?1???12,EXn
EX(1?)?
EX(1)?2?(nn?1)???12
nn?2?(??12)?22nn?1(??12),EX(n)?2nn?2?(??12)?22nn?1(??12)22 D(X(1))?EX(1)?[EX(1)]?n(n?2)(n?1)n(n?2)(n?1)n?22
D(X(n))?EX(2n)?[EX(n)]2?12
E(X(1)X(n))??????2??21y?12xyn(n?1)(y?x)dxdy?1n?2?(??12)(??12)
EX(1)EX(n)?n(n?1)2?(??12)(??121)
Cov(X(1),X(n))?E(X(1)X(n))?EX(1)EX(n)?n?2?n(n?1)2?1(n?1)(n?2)2所以
??E?12E(X(1)?X(n))??
?)?1D(X?X)?1[D(X)?D(X)?2Cov(X,X)] D(?(1)(n)(1)(n)(1)(n)44?1
?4(n?1)(n?2)12(n?1)(n?2)[n2?n(n?1)(n?2)2?2(n?1)(n?2)2]
当 n?1时，
12(n?1)(n?2)?112n，故
12?X(1)?X(n)?较X有效．
12
16.设总体X的密度函数为
?1?,f(x;?)????0,?X1,X2,X3为其样本,试证
0?x??其它(??0)
43X(3)及4X(1)都是参数?的无偏估计,问哪个较有效?
n?1nX(n)和(n?1)X(1)．
解 考虑一般情形，设X1,X2,?,Xn为样本，比较
X(1)的密度为
?n(??x)n?1,0?x???n f1(x;?)?? ??0,其它?X(n)的密度为
?nxn?1,0?x??? fn(x;?)???n
?0,其它?由此算得
EX(1?)所以
? E((n1()X1??))n?1,E(nn1n?1?