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⑺ D ⑻ D∨E
证明：⑴ E→F∧﹁G
⑵ F∨G→H ⑶ E ⑷ F∧﹁G ⑸ F ⑹ F∨G ⑺ H
证明：⑴ M→N
⑵ N→O
⑶ (M→O)→(N→P) ⑷ (M→P)→Q ⑸ M→O ⑹ N→P ⑺ M→P ⑻ Q
证明：⑴ A→B
⑵ B→C ⑶ C→D
⑷ (A→D)→(B→A) ⑸ ﹁A ⑹ A→C ⑺ A→D ⑻ B→A ⑼ ﹁B
证明：⑴ A∨B→(C∨D→E)
⑵ A ⑶ C∧D ⑷ A∨B ⑸ C∨D→E ⑹ C ⑺ C∨D ⑻ E ⑼ C∧D→E ⑽ A→(C∧D→E)
证明：⑴ A∨B→C∧D
⑵ D∨E→F ⑶ A
⑹，联言推理的分解式 ⑺，析取附加式 已知 已知 已知
⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑷，联言推理的分解式 ⑸，析取附加律
⑵，⑹，充分条件推理的肯定前件式 已知 已知 已知 已知
⑴、⑵，条件三段论
⑶、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑴、⑹，条件三段论
⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 已知 已知 已知 已知 已知
⑴、⑵，条件三段论 ⑶、⑹，条件三段论
⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑸、⑻，充分条件推理的否定后件式 已知 假设 假设
⑵，析取附加律
⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑶，联言推理的分解式 ⑹，析取附加律
⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑶、⑻，→引入 ⑵、⑼，→引入 已知 已知 假设
2．①E→F∧﹁G，②F∨G→H，③E。所以，H。
3．①M→N，②N→O，③ (M→O)→(N→P)，④(M→P)→Q。所以，Q。
4．①A→B，②B→C，③ C→D，④(A→D)→(B→A)，⑤﹁A。所以，﹁B。
5．A∨B→(C∨D→E)。所以，A→(C∧D→E)。
6．①A∨B→C∧D，②D∨E→F。所以，A→F。
⑷ A∨B ⑸ C∧D ⑹ D ⑺ D∨E ⑻ F ⑼ A→F
证明：⑴ A∧B→C
⑵ (A→C)→D ⑶ ﹁B∨E ⑷ B ⑸ E
⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑻ (﹁A∨C)→D ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑽ D ⑾ D∧E ⑿ B→D∧E
证明：⑴ A∨(B∧C)
⑵ (A→D)∧(D→C) ⑶ A→C
⑷ A∨(B∧C)→C ⑸ C
⑶，析取附加律
⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑶，联言推理的分解式 ⑹，析取附加律
⑵、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑶、⑻，→引入 已知 已知 已知 假设
⑶、⑷，选言推理的否定肯定式 ⑴，等值命题 ⑹，德摩根定律 ⑵，等值命题 ⑻，条件附加律
⑺、⑼，充分条件推理的肯定前件式 ⑸、⑽，联言推理的组合式 ⑷、⑾，→引入 已知 已知
⑵，条件三段论 ⑶，条件附加律
⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式
7．①A∧B→C，②(A→C)→D，③﹁B∨E。所以，B→D∧E
8．①A∨(B∧C)，②(A→D)∧(D→C)。所以，C。
第七章 谓词逻辑初步
一、填空题
1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非传递）性。 2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。
3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关
系的是（真包含关系）。
4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中，属于反对称关系的是（真包含于关系），属于
反传递关系的是（真包含于关系、矛盾关系）。
5．已知关系R是反对称的、传递的，由aRb真可得知（bRa假）；由aRb真且bRc真可得知（aRc真）。 二、单项选择题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．A
解析：由题意可知，甲+乙=丙+丁，甲+丁＞乙+丙，甲+丙＜乙。经过运算可得，丁＞乙＞甲＞丙。
8．C
三、双项选择题
1．“人事变动不等于政策变动，所以政策变动不等于人事变动。”该推理是（ BE ）
A．有效的反对称性关系推理 C．无效的反对称关系推理 E．有效的纯关系推理
2．“甲了解乙，乙了解丙，所以甲了解丙。”这个推理是（ CE ）
A．有效的传统关系推理 E．无效的纯关系推理
3．下列既是反对称性又是传递性的关系是（ CD ）
A．援助 E．交叉
4．“柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家”这个命题是（ CE ）
A．关系命题 C．复合命题 E．联言命题
注意，直言命题通常被分析到词项，因此直言命题通常是指简单命题。 5．在概念外延间的关系中，不具有传递性的是（ CD ）
A．同一关系 C．交叉关系 E．真包含于关系 四、应用分析题
（一）指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？ 1．数8。
答：“8”是个体词，“数”是谓词。 2．x是深红色的。
答：x是个体词，“是深红色的”是谓词。 注意，（1）这里的x其实是个体变项。下同。
（2）命题都有真假，而“x是深红色的”没有真假，因为这里的x实际上是一个空位，即该
语句其实是“（ ）是深红色的”，它是一个开语句，不能表达通常所谓的命题。下同。
3．x+y=z
答：x、y和z是个体词，+和=是谓词。 4．所有的x。
答：“所有”是量词，x是个体词。 5．将要出任校长的人。
答：“将要出任校长的人”是谓词。因为通常说，例如，“张三是将要出任校长的人”。 6．小黄不爱小李，但也不讨厌小李。
答：“小黄”和“小李”为个体词，“爱”和“讨厌”是谓词，“小黄不爱小李”、“（小黄）不
讨厌小李”和“小黄不爱小李，但也不讨厌小李”都是命题。
7．至少有数x。
答：x是个体词，“至少有”是量词，“数”是谓词。 8．几乎所有的人。
B．真包含关系 D．全异关系
B．直言命题 D．全称命题
B．矛盾 D．真包含于
C．在……左边
B．有效的反传统关系推理
C．误把非传统关系当作传递关系
D．无效的反传统关系推理
B．有效的对称性关系推理 D．无效的对称性关系推理
答：“几乎所有”是量词，“人”是个体词。 （二）把下列命题表达为谓词公式
1．有的粉笔是红色的。（F：是粉笔；G：是红色的）
解：?x(Fx∧Gx)
2．所有的学生都没有缺席。（F：是学生；G：缺席）
解：?x(Fx→﹁Gx)
3．有的学生既不是上海人也不是江西人。（F：是学生；G：是上海人；H：是江西人）
解：?x(Fx∧﹁Gx∧﹁Hx)
4．小陈不接受任何意见。（a：小陈；F：是意见；R(x, y)：x接受y）
解：?x(Fx→﹁R(a, x))
5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。（F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；R(x, y)：x认
识y）
解：?x(Fx∧?y((Gy∧Hy)→R(x, y))
6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。（F：是儿童；G：是饮料；R(x, y)：x喜欢y）
解：﹁?x(Fx→?y(Gy∧R(x, y)))
7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。（a：小陈；b：我；F：是书；R(x, y)：x喜欢y）
解：?x((Fx∧R(a, x))→R(b, x))
（三）指出下列公式中哪些是约束变项，哪些是自由变项，并指出量词的辖域。 1．?x(Px∧Qx)→?xPx∧Qx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧Qx)。第二个x也是约束变项，辖域为Px。第三个x是自由
变项。
2．?x(Px∧?xQx)∨?x(Rx→Qx)
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧?xQx)。第二个x也是约束变项，辖域为Qx。第三个x也是
约束的，辖域为(Rx→Qx)。
3．?x(Px?Qx∧?xRx)∧?xRx∧Sx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px?Qx∧?xRx)。第二个x是约束变项，辖域为Rx。第三个x为
自由变项。
4．?x(Px→?yR(x, y))
解：x为约束变项，辖域为(Px→?yR(x, y))。y为约束变项，辖域为R(x, y)。 5．?x?y(R(x, y)→﹁Gx)∧?zR(x, z)
解：x为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。y为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。z为约束变项，
辖域为R(x, z)。
6．?x?y(P(x, y)∧Q(y, z))∧?xP(x, y)
解：第一个x为约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第一个y约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。
第二个x为约束变项，辖域为P(x, y)。第二个y为自由变项。
（四）把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式 1．有的S是P，所以有的P不是S。
解：?x(Sx∧Px)→?x(Px∧﹁Sx)
2．所有M不是P，所有S是M，所以有的S不是P。
解：(?x(Mx→﹁Px)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx∧﹁Px) 3．没有P是M，凡S是M，所以凡S不是P。
解：(?x(Px→﹁Mx)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx→﹁Px) 4．所有M是P，所有M是S，所以有S是P。
解：?x(Mx→Px)∧?x(Mx→Sx)→?x(Sx∧Px)
（五）分析下列命题，指出哪些是直言命题，哪些是关系命题。 1．人民利益高于一切。 2．事实胜于雄辩。
3．普及工作和提高工作是紧密相连的。 4．普及工作和提高工作都是要进行的。 5．命题甲和命题乙是矛盾的。
6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。
答：第4和第6是直言命题，第1、2、3和第5是关系命题。 （六）下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？
1．所有固体都能为有的液体溶解，有的金属是固体，所以有的金属能为有的液体溶解。
答：有效。
2．一切负数都不比一切正整数大，零不是负数，所以零不比一切正整数大。
答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。
3．每人都同意有些建议，有些建议是十分宝贵的，所以每人都同意有些十分宝贵的建议。
答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。
4．有些甲班同学没有参加书法小组，小吴参加书法小组，所以小吴不是甲班同学。
答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。 （七）把下列关系命题表达为谓词公式 1．珠穆朗玛峰比所有山都高。
解：设M表示山，a表示珠穆朗玛峰，H(x, y)表示x比y高，则
?x(Mx→H(a, x))
2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。
解：令J表示甲班同学，Y表示乙班同学，L(x, y)表示x的外语成绩比y的差，则
?x(Jx∧?y(Yy→L(x, y))
第八章 模态逻辑及其推理
一、单项选择题
1．与“这次试验必然不能成功”为矛盾关系的命题是（ C ）
A．这次实验必然能成功。 C．这次实验可能成功。 A．“必然p”与“可能p” C．“可能p”与“可能非p” 3．?□p与?◇?p之间为（ A ）
A．矛盾关系 C．差等关系 A．□SAP C．◇SIP
B．反对关系 D．下反对关系 B．□SEP D．□?SIP
B．这次实验不必然能成功。 D．这次实验不能成功有可能。 B．“必然非p”与“可能p” D．“可能非p”与“必然p”
2．在下列各组命题中，具有差等关系的是（ A ）
4．以?□SEP为前提进行对当关系模态推理，其结论是（ C ）
解析：这里需要经过两步推理，即?□SEP├ ◇?SEP├ ◇SIP。这两步推理分别用到如图两种不同
类型的对当方阵。
5．以“有些昆虫可能是害虫”为前提进行对当关系推理，其结论用符号表示只能是（ A ）
A．?□SEP C．◇SOP
B．□SAP D．?◇SIP