内容发布更新时间 : 2024/11/8 21:01:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
答案：2
第2课时
[常考题型突破]
平行与垂直(能力课)
线线、线面位置关系的证明
[例1] (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BCBD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD， 所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC， 所以AD⊥AC. [方法归纳]
立体几何证明问题的注意点 (1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理．如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则结论不一定正确． ⊥BD
(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用． [变式训练] 1．(2017·苏锡常镇一模)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.
(1)求证：E是AB的中点； (2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
证明：(1)连结BC1，因为OE∥平面BCC1B1，OE?平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以OE∥BC1 .
因为侧面AA1C1C是菱形，AC1∩A1C＝O， 所以O是AC1中点，
AEAO
所以＝＝1，E是AB的中点.
EBOC1
(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C,
又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC, 因为BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC.
2．(2017·苏州模拟)在如图所示的空间几何体ABCDPE中，底面ABCD边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝4，EB＝2.
(1)若点Q是PD的中点，求证：AQ⊥平面PCD； (2)证明：BD∥平面PEC.
证明：(1)因为PA＝AD，Q是PD的中点，所以AQ⊥PD. 又PA⊥平面ABCD， 所以CD⊥PA.
又CD⊥DA，PA∩DA＝A， 所以CD⊥平面ADP. 又因为AQ?平面ADP， 所以CD⊥AQ， 又PD∩CD＝D， 所以AQ⊥平面PCD.
(2)取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME，
是
1
在△PAC中，易知MN＝PA，MN∥PA，
21
又PA∥EB，EB＝PA，
2所以MN＝EB，MN∥EB，
所以四边形BEMN是平行四边形，所以EM∥BN. 又EM?平面PEC，BN?平面PEC， 所以BN∥平面PEC，即BD∥平面PEC.
两平面之间位置关系的证明 [例2] (2017·南京模拟)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC于圆O，且AB为圆O的直径，M为线段PB的中点，N为线段BC的中点．
求证：(1)平面MON∥平面PAC； (2)平面PBC⊥平面MON.
[证明] (1)因为M，O，N分别是PB，AB，BC的中点， 所以MO∥PA，NO∥AC， 又MO∩NO＝O，PA∩AC＝A， 所以平面MON∥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC. 由(1)知，MO∥PA， 所以MO⊥BC.
连结OC，则OC＝OB，因为N为BC的中点， 所以ON⊥BC.
又MO∩ON＝O，MO?平面MON，ON?平面MON， 所以BC⊥平面MON. 又BC?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面MON. [方法归纳]
1.证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行. 内接
2.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决. [变式训练] 1．(2017·无锡期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：
(1)平面PAD⊥平面ABCD； (2)EF∥平面PAD.
证明：(1)因为AP⊥平面PCD，CD?平面PCD， 所以AP⊥CD，
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD,
又因为AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 因为CD?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)连结AC，BD交于点O，连结OE，OF，
因为四边形ABCD为矩形，所以O点为AC的中点， 因为E为PC的中点， 所以OE∥PA，
因为OE?平面PAD，PA?平面PAD， 所以OE∥平面PAD, 同理可得：OF∥平面PAD，
又因为OE∩OF＝O，所以平面OEF∥平面PAD, 因为EF?平面OEF，所以EF∥平面PAD.
2.(2016·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
BC的