2020-2021学年高考数学专版三维二轮专题复习教学案:专题二_立体几何_有答案

内容发布更新时间 : 2024/12/24 10:45:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

答案:2

第2课时

[常考题型突破]

平行与垂直(能力课)

线线、线面位置关系的证明

[例1] (2017·江苏高考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BCBD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,上,且EF⊥AD.

求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.

[证明] (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD, 所以EF∥AB.

又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC, 所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, BC?平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD, 所以BC⊥AD.

又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC, 所以AD⊥AC. [方法归纳]

立体几何证明问题的注意点 (1)证明立体几何问题的主要方法是定理法,解题时必须按照定理成立的条件进行推理.如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内,另一条直线必须说明它在平面外;线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等,如果定理的条件不完整,则结论不一定正确. ⊥BD

(2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用. [变式训练] 1.(2017·苏锡常镇一模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.

(1)求证:E是AB的中点; (2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.

证明:(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,OE?平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1 .

因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O, 所以O是AC1中点,

AEAO

所以==1,E是AB的中点.

EBOC1

(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,

又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C?平面A1BC,A1B?平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC, 因为BC?平面A1BC,所以AC1⊥BC.

2.(2017·苏州模拟)在如图所示的空间几何体ABCDPE中,底面ABCD边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=AD=4,EB=2.

(1)若点Q是PD的中点,求证:AQ⊥平面PCD; (2)证明:BD∥平面PEC.

证明:(1)因为PA=AD,Q是PD的中点,所以AQ⊥PD. 又PA⊥平面ABCD, 所以CD⊥PA.

又CD⊥DA,PA∩DA=A, 所以CD⊥平面ADP. 又因为AQ?平面ADP, 所以CD⊥AQ, 又PD∩CD=D, 所以AQ⊥平面PCD.

(2)取PC的中点M,连结AC交BD于点N,连结MN,ME,

1

在△PAC中,易知MN=PA,MN∥PA,

21

又PA∥EB,EB=PA,

2所以MN=EB,MN∥EB,

所以四边形BEMN是平行四边形,所以EM∥BN. 又EM?平面PEC,BN?平面PEC, 所以BN∥平面PEC,即BD∥平面PEC.

两平面之间位置关系的证明 [例2] (2017·南京模拟)如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC于圆O,且AB为圆O的直径,M为线段PB的中点,N为线段BC的中点.

求证:(1)平面MON∥平面PAC; (2)平面PBC⊥平面MON.

[证明] (1)因为M,O,N分别是PB,AB,BC的中点, 所以MO∥PA,NO∥AC, 又MO∩NO=O,PA∩AC=A, 所以平面MON∥平面PAC.

(2)因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, 所以PA⊥BC. 由(1)知,MO∥PA, 所以MO⊥BC.

连结OC,则OC=OB,因为N为BC的中点, 所以ON⊥BC.

又MO∩ON=O,MO?平面MON,ON?平面MON, 所以BC⊥平面MON. 又BC?平面PBC, 所以平面PBC⊥平面MON. [方法归纳]

1.证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行. 内接

2.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决. [变式训练] 1.(2017·无锡期末)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AP⊥平面PCD,E,F分别为PC,AB的中点.求证:

(1)平面PAD⊥平面ABCD; (2)EF∥平面PAD.

证明:(1)因为AP⊥平面PCD,CD?平面PCD, 所以AP⊥CD,

因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD,

又因为AP∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD, 所以CD⊥平面PAD, 因为CD?平面ABCD, 所以平面PAD⊥平面ABCD.

(2)连结AC,BD交于点O,连结OE,OF,

因为四边形ABCD为矩形,所以O点为AC的中点, 因为E为PC的中点, 所以OE∥PA,

因为OE?平面PAD,PA?平面PAD, 所以OE∥平面PAD, 同理可得:OF∥平面PAD,

又因为OE∩OF=O,所以平面OEF∥平面PAD, 因为EF?平面OEF,所以EF∥平面PAD.

2.(2016·江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.

求证:(1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,

BC的

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