西北工业大学数值分析(附答案)

内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:27:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。 19. 求证

(a) ||x||??||x||1?n||x||?,

1(b)

n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。

20. 设 P?Rn且非奇异,又设||x||为R上一向量范数,定义

||x||p?||Px||。

试证明

||x||p是Rn上的一种向量范数。

n?n21. 设A?R为对称正定阵,定义

||x||A?(Ax,x)1/2,

n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nT22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn),求证

lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。

23. 证明:当且尽当x和y线性相关且xy?0时,才有

T||x?y||2?||x||2?||y||2。

24. 分别描述R中(画图)

2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。

?是Rn(或Cn)上的任意一种范数,而P是任意非奇异实(或复)矩阵,定义范

?1数||x||??||Px||,证明||A||??||PAP||。

n?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数,证明存在常数c1,c2?0,使对一切

25. 令

A?Rn?n满足

c1||A||s?||A||t?c2||A||s

TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设,求证与特征值相等,即求证

28. 设A为非奇异矩阵,求证

||A||?y?0||y||||A?1||??。

?1?129. 设A为非奇异矩阵,且||A||||?A||?1,求证(A??A)存在且有估计

||?A||cond(A)||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||

1?min30. 矩阵第一行乘以一数,成为

?2?A???1证明当

??1??。

???23时,cond(A)?有最小值。

31. 设A为对称正定矩阵,且其分解为A?LDL?WW,其中W?D(a) cond(A)2?[cond(?)2];

Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)

2TT1/2LT,求证

32. 设

?10099?A????9998?

计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?)

33. 证明:如果A是正交阵,则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且

?为上矩阵的算子范数,证明

cond(AB)?cond(A)cond(B)。

第八章 解方程组的迭代法

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1

终止.

?00?A????20?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛. 2. 设

3. 证明对于任意选择的A, 序列

收敛于零.

4. 设方程组

111I,A,A2,A3,A4,?23!4!

迭代公式为

?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);

1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22 ? (k?1,2,?).

(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

r?5. 设方程组

a12a21?1.a11a22

?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)

6. 求证k???x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

limAk?A的充要条件是对任何向量x,都有

7. 设Ax?b,其中A对称正定,问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛?试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

k??limAkx?Ax.111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径;

(b) 求解此方程组的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径;

(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组(分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1)

?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?2

11x??(,1,?)T,?(k)?622要求当||x?x||??5?10时迭代终止,并且对每一个?精确解

值确定迭代次数。

10. 用SOR方法解方程组(取?=0.9)

?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1

(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。

11. 设有方程组Ax?b,其中A为对称正定阵,迭代公式

x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)

0???试证明当

2?时上述迭代法收敛(其中0????(A)??)。

(k?1)12. 用高斯-塞德尔方法解Ax?b,用xi记x(k?1)的第i个分量,且

nri(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?i。

ri(k?1)x?x?ai; (a) 证明

(k)?x(k)?x?,其中x?是方程组的精确解,求证: (b) 如果?(k?1)i(k)i?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?aii

其中 (c) 设A是对称的,二次型

??aij?j?1i?1(k?1)j??aij?i(k)j?in。

Q(?(k))?(A?(k),?(k)) Q(?(k?1))?Q(?(k)j?1jj证明 。

(d) 由此推出,如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵,且高斯-塞德尔方法对任意初始向

)???n(rj(k?1))2a量x是收敛的,则A是正定阵。

13. 设A与B为n阶矩阵,A为非奇异,考虑解方程组

(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,

其中z1,z2,d1,d2?R。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m)(m?0);

n(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?1)(m?0);

?1aa??A??a1a????aa1??

111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的,而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??,试说明A为可约矩阵。 15. 设

16. 给定迭代过程,x?Cx(k)?g,其中C?Rn?n(k?0,1,2,?),试证明:如果C的

特征值?i(C)?0(i?1,2,?),则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

(k?1)17. 画出SOR迭代法的框图。

18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1,求证:解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b,其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵;

(b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。

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