内容发布更新时间 : 2024/11/5 21:45:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
排队论—关于学校澡堂洗澡排队问题
本文所处理的排队论问题：
学校的澡堂每周周一到周五下午 5 点开到晚上 10 点， 周六周日是早上 9 点到晚上 10 点开， 在周一至周五期间， 5 点到 6 点半这段时间内， 因为上课和体能锻炼结束， 在晚饭前后， 会有很多学生前去洗澡， 这时由于高峰期去的人很多， 就会产生排队情况。 本文就对这个个排队现象进行分析。
首先对排队现象进行基本的分析和简化处理：
1.学生大多数是一个一个的来洗澡、 有时候会两个或三个人一起来， 且每个的到来都是互不影响的， 所以我们简化处理， 假设学生是一个一个的到来， 且每个人的到来时间间隔都是服从指数分布的， 故在高峰期这段时间间隔内， 学生的到来就服从参数为?的泊松分布。
2.学生到澡堂后， 首先进入等待区， 将衣物放入橱衣柜才能洗澡， 设有 k 个橱衣柜， 而有 c 个淋浴喷头可以洗澡， 实际情况中经常是储物柜的数目大于喷头数目， 因为有些学生时间比较紧，不一定会将衣物放入储物柜中才去洗澡， 但也不会有很多这种情况， 故我们假设这也是将衣物存放在储物柜中的， 故储物柜的个数大于喷头数， 而且由于使用时间比较长了， 所以喷头有一些都坏了， 故喷头数是小于橱衣柜的树木的， 并且对每个学生来说，如果没有排队现象， 只要来到澡堂就能立刻洗澡， 所以遵从先来先服务的服务
原则。
3.而且每个学生洗澡都是独自用一个喷头， 故假设使用喷头的过程是相互独立， 都是各自洗各自的， 互不影响， 且洗澡时间是服从参数为?的指数分布， 且只要洗完就不会再里面逗留， 直接出来。系统模型如下图所示：
所以我们得出系统的模型， 这样的排队问题是典型的M / M / c /
k模型， 即每个学生是按指数分布到达， 按指数分布服务， 服务
员有 c个， 等待区间的大小为 k。
M / M / c / k 模型：
如上图所示：
其中向右的箭头表示流入速率?， 即学生进入澡堂的速率， 向左的箭头表示服务速率?j， 即学生洗完澡离去的速率：
由局部能量守恒定律可知，故而可推出：
将?和?j带入有：
其中a ??/ ?， 表示供给负荷， 即平均一个服务时间内所产生的需求。这就是我们所要求的系统处于各状态时的概率， 即系统中有多少学生的概率。
通过归一化特性， 即所有概率之和为一的特性， 可推出
当 a 取不同值时有：
故此， 我们将这个排队系统的数学模型推导出来的， 除了对各状态的概率感兴趣外， pn表示系统中有 n 个学生的概率。 此外当发生排队事件后对系统的排队等待时间和排队等待队长也有很大的兴趣。
其中， 平均排队长， 即平均有多少人在排队， 因为要形成排队，只有到达的学生数超过喷头数才能因为有人不能洗澡而排队，故排队长应该为当系统中的所有学生的个数超过 C 时才会产生，即：
通过幂级数的求和计算得：
由 Little 定理有，平均等待时间为：
其中????(1 ?p k ) ，表示的是此时，有一部分学生看到形成排队后不再洗澡直接离开后，接下来的学生进入系统的速率。即，因为已经形成排队，就会有学生因为不能立即洗澡，时间上不够而离去，或等待时间过长而离去，这叫损失概率，如下式所示：
即只要是看到有排队现象， 新来的学生就以概率??损离开，这是系统损失的概率。最后我们还要关注一个最为重要的变量，即学生到来后， 如果发生排队问题， 则在排队过程中等待时间的分布函数如下：
如下所示， 其中Tq表示排队等待时间。 1.当等待时间 t< 0 时， 有
因为等待时间只能为零或大于零，故等待时间小于零的概率为零 2.当等待时间 t=0 时， 等待时间为零， 也就意味着学生只要一进入
就会被服务， 不需要等待， 则，
即学生到达后一定会进入系统进行服务， 不会离去， 而且Q表示学生到来后看到系统有多少学生， Q ?c ?1表明系统中的服务员个数还有富余， 没有被全部占用， 故学生一来就可以洗澡，等待时间为 0。其中， 有
3.当等待时间 t>0 时， 有
Wq(t) ?P(Tq?t |到达必须进入)
通过全概率公式可求得：
故总结有：
所以