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2019年
专练10 计算题(二)
(时间：25分钟)
24．(2017·石家庄质检二)如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆形金属槽，静止在光滑的水平面上，左边紧靠竖直墙壁．一质量为m的小球从距金属槽上端R处由静止下落，恰好与金属槽左端相切进入槽内，7
到达最低点后向右运动从金属槽的右端冲出，小球到达最高点时与金属槽圆弧最低点的距离为R，重力加速度为
4
g，不计空气阻力．求：
(1)小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小； (2)金属槽的质量．
[解析] (1)小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有
mg·2R＝mv20
小球刚到最低点时，根据圆周运动和牛顿第二定律有
1
2
v20
N－mg＝m
R根据牛顿第三定律可知小球对金属槽的压力为N′＝N 联立解得N′＝5mg
(2)从小球第一次到达最低点至小球到达最高点的过程，小球和金属槽水平方向动量守恒，则
mv0＝(m＋M)v
设小球到达最高点时，距金属槽圆弧最低点高度为h，由几何知识得：
??R2＋h2＝?R?2 4
??
1212
根据能量守恒定律，有mg·h＝mv0－(m＋M)v
2233
联立解得M＝m
8－33
7
2019年 33[答案] (1)5mg (2)m 8－3325．(2017·云南质检)如图所示，两根金属导轨平行放置形成倾角为37°的导轨平面， 两导轨之间的距离
L＝0.5 m，导轨上端连接一阻值为R＝0.2 Ω的电阻，质量为m＝0.2 kg、电阻r＝0.2 Ω的导体棒MN跨在两
倾斜导轨上，与导轨和电阻形成闭合回路，MN与倾斜导轨之间的动摩擦因数为μ＝0.5.两倾斜导轨下端通过一小段光滑圆弧与两平行光滑水平导轨相连．倾斜导轨平面内A1A2与A3A4之间存在匀强磁场Ⅰ，水平导轨平面内A5A6右侧存在匀强磁场Ⅱ，两磁场边界与导轨垂直，磁感应强度大小相等，方向均与所在位置的导轨平面垂直．MN初始位置与磁场边界A1A2的距离为x1＝1 m，将MN由静止释放，为保持导体棒在倾斜导轨上始终做匀加速运动，
MN在磁场Ⅰ运动的过程中需要对其施加一平行导轨平面的变力F.从导体棒进入磁场Ⅰ开始计时，F随时间t变
化的规律为F＝0.2t＋0.2 (N)，若导体棒停止运动时到A5A6的距离为x2＝8 m．MN滑动过程中始终与导轨垂直且接触良好，除R和r外其余电阻均不计．取g＝10 m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
2
(1)MN进入磁场Ⅰ时的速度大小； (2)磁场Ⅰ的磁感应强度B的大小；
(3)MN的初始位置与水平轨道平面的高度差． [解析] (1)进入磁场之前，对MN：
由牛顿第二定律得mgsin37°－μmgcos37°＝ma 设进入磁场Ⅰ时的速度为v0，则：
v20＝2ax1
联立解得：v0＝2 m/s (2)导体棒刚进入磁场Ⅰ时 安培力FA＝IBL 感应电流I＝
ER＋r
感应电动势E＝v0BL 据题意：FA＝0.2 N 解得：B＝0.4 T
(3)设导体棒沿倾斜导轨下滑的距离为x，到达导轨底端的速度大小为v1，则：
v21＝2ax h＝xsin37°
2019年
进入磁场Ⅱ后速度为v时，由牛顿第二定律：
ΔvFA′＝ma′＝m ΔtB2L2vΔv＝m R＋rΔtB2L2
vΔt＝mΔv R＋rB2L2
Δx＝mΔv R＋rB2L2
由于导体棒进入磁场Ⅱ时的速度为v1，末速度为0，在磁场Ⅱ中发生的位移为x2，则x2＝mv1
R＋r联立解得：h＝2.4 m
[答案] (1)2 m/s (2)0.4 T (3)2.4 m