内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:44:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
θ|=|λ||x|=
24xx2?y2?24x32x?14?24242??83,当且仅当|x|=时取等号.
3x133?4x三、解答题
(17)解:(Ⅰ)依题意得bsinA?acosB?0, ----------------------------------------------------1分
由正弦定理得sinBsinA?sinAcosB,-----------------------------------------------------------2分 ∵A?(0,?)∴sinA?0,故 sinB?cosB----------------------------------------------------4分 又∵B?(0,?),∴B?(Ⅱ)法一:由正弦定理知
?4.--------------------------------------------------------------------------6分
abasinB??1-----------------------------------------------------------8分 ,所以sinA?sinAsinBb又A?(0,?),所以A?所以S??2,C??4,c?b?1,------------------------------------------------10分
11?1?1?.--------------------------------------------------------------------------------12分 22【法二:由余弦定理知
b2?a2?c2?2accosB,所以c2?2c?1?0-------------------------------------------------8分
解得 c?1----------------------------------------------------------------------------------------------10分 故S?11acsinB?.------------------------------------------------------------------------------12分】 22-----------------------------------------------------------1分
(18)解:(Ⅰ)证:连接AB1,则EF//AB1又ADC1B1为平行四边形,∴AB1//DC1,?EF//DC1---------------------------------------2分 又EF?面A1C1D,DC1?面A1C1D
?EF//面A1C1D--------------------------------------------------------------------------------------3分
(Ⅱ)依题意知点C1到平面AA1D的距离即点B1到平面AA1D的距离,
设点A到平面A1C1D的距离为h,
由VA?A1DC1?VC1?AA1D得S?A1DC1?h?S?AA1D?A-----------------------------------------------5分 1B1,
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S?∵AD?AC111?25,C1D?22,∴?A1DC1∴ h?1?C1D?(25)2?(2)2?6, 2S?AA1D?A1B1S?A1DC1?4?244?,即点A到平面A1C1D的距离为.-----------------------7分 633(Ⅲ)以B1为原点,B1A1、B1C1、B1B 为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图----------8分
则B1(0,0,0),A(2,02),A1(2,0,0),C1(0,4,0),D(2,4,2),C(0,4,2)
?B1C?(0,4,2),A1C1?(?2,4,0),DA1?(0,?4,?2),DC1?(?2,0,?2) ?A1、P、C1三点共线,?A1P??A1C1
途径一:设P(a,b,c),则(a?2,b,c)??(?2,4,0),
zBC?P(2?2?,4?,0),AP?(?2?,4?,?2),
[途径二:AP?AA1?A1P?AA1??A1C1
AB1ExA1FPDC1y?(0,0,?2)??(?2,4,0)?(?2?,4?,?2)]
11???,AP?(?,1,?2)------------10分
24??n?DA1?0??4y?2z?0设平面DA1C1的一个法向量为n?(x,y,z),则由?得?,
?2x?2z?0??n?DC1?0?11令z?1,则y??,x??1,?n?(?1,?,1)--------------------------------------------11分
22设直线AP与平面DA1C1所成角为?,则sin??cosAP,n?8321
即直线AP与平面DA1C1所成角的正弦值为
821.------------------------------------------12分 63(19)解:(Ⅰ)记“所选取的1名学生选考物理、化学、生物科目数量不少于2”为事件A
111C25?C20C599则P?A??【或】--------------------------------------3分 ?PA?1????11C5010C5010(Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2
22C52?C25?C2020,-------------------------------------------------------------4分 P?X?0???2C5049
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1111C5C25?C20C2525,-------------------------------------------------------------5分 P?X?1???2C504911C5C4 , --------------------------------------------------------------------6分 P?X?2??220?C5049从而X的分布列为
X P E?X??0?0 1 2 20 4925 494 492025433?1??2?? ; ----------------------------------------------------8分 49494949251?,------------------------------------------------------------------------10分 502(Ⅲ)所调查的50名学生中在物理、化学、生物中选考两科的学生有25名
相应的概率为P?所以Y B?4,??1?? ,所以事件“Y?3”的概率为 2?3?1?P?Y?3??C???2?345?1?4?1?.-------------------------------------------------12分 1??C?4?????2??2?164(20)解:(Ⅰ)依题意知F(pp,0),抛物线的准线方程为x??,-----------------------------2分 22p由|MF|?2p结合抛物线的定义得:3??2p,解得p?2,---------------------------4分
2故所求抛物线C的方程为:y?4x.-------------------------------------------------------------5分
22y12y244(Ⅱ)证法1:设点A(,y1),B(,y2),则kOA?,kOB?,-----------------------------6分
44y1y2由已知kOA?kOB??1得y1y2??4(y1?y2),-------------------------------------------------7分 显然直线l的斜率存在,否则直线l与x轴垂直,由抛物线的对称性知kOA?kOB?0, 与已知kOA?kOB??1矛盾;-------------------------------------------------------------------------8分
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由此得直线l的斜率kl?y2?y14?,---------------------------------------------------9分 2y2y12y2?y1?44y124故直线l的方程为:y?y1?(x?),----------------------------------------------10分
y1?y24整理得4x?(y1?y2)y?y1y2?0,
即4x?(y1?y2)y?4(y1?y2)?0,可知直线l过定点(0,?4).----------------------------12分 【证法2:依题意知直线l的斜率存在,否则直线l与x轴垂直,由抛物线的对称性
kOA?kOB?0,与已知kOA?kOB??1矛盾;-------------------------------------------------------------6分
设直线l的方程为y?kx?m,易知k?0,m?0,
?y?kx?m,由?2消去y得k2x2?2(km?2)x?m2?0,-----------------------------------------------8分 ?y?4x.2(km?2)m2,x1x2?2, --------------------------------9分 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??k2k则kOA?kOB?y1y2kx1?mkx2?m?????1,整理得(2k?1)x1x2?m(x1?x2)?0, x1x2x1x2(2k?1)m22m(km?2)??0?m2?4m?0 22kk因m?0,故m??4, -------------------------------------------------------------------------------------11分 即直线l的方程为y?kx?4,可知直线l过定点(0,?4).--------------------------------------------12分】 【证法3:依题意知直线l的斜率存在,否则直线l与x轴垂直,由抛物线的对称性知 kOA?kOB?0,
与已知kOA?kOB??1矛盾;---------------------------------------------------------------------------------6分 设直线l的方程为y?kx?m,易知k?0,m?0,
联立y?4x,消去x,得ky?4(y?m),即ky?4y?4m?0,-----------------------------8分 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1?y2?22244m,y1?y2?,----------------------------------------9分 kk
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则kOA?kOB?444(y1?y2)4???,又kOA?kOB??1,得m??4,-------------11分 y1y2y1?y2m即直线l的方程为y?kx?4,可知直线l过定点(0,?4).-----------------------------------12分】
11(21)解:(Ⅰ)f?(x)?lnx?(a?0) 令f?(x)?0得x?ea---------------------1分
a当0?x?e时,f?(x)?0;当x?e时,f?(x)?0
所以f(x)的增区间为(e,??),减区间为(0,e);-----------------------------------------3分 (Ⅱ)因为函数f(x)在x?e处取得极值,所以f'(e)?0,解得a?1, ----------------------4分 【或由(Ⅰ)知函数f(x)在x?e处取得极值,所以e?e,解得a?1-------------------4分】 所以f(x)=?x?m?1的实根的个数,即方程xlnx?x?m?1在(0,+∞)内的实根个数,可转化为函数g(x)?xlnx?x图象与直线y?m?1的交点个数.------------- ---------------------5分 由g'(x)?lnx?0得x?1
当0?x?1时,g'(x)?0;当x?1时,g'(x)?0 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,??)上单调递增
yy=g(x)y=m+1xy=m+1y=m+11a1a1a1a1a1a?g(x)min?g(1)??1------------7分
又当0?x?1时,g(x)?xlnx?x?x(lnx?1)?0; 当x?0且x?0时,g(x)?xlnx?x?0; 当x???时,显然g(x)?x(lnx?1)???,
o-11由此可得,当m?1??1,即m??2时,方程f(x)=?x?m?1没有实数根;----------------9分 当?1?m?1?0,即?2?m??1时,方程f(x)=?x?m?1有两个不同的实数根;------10分 当m?1??1或m?1?0,即m??2或m??1时,f(x)=?x?m?1有一个实数根.-----12分 选做题:
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