内容发布更新时间 : 2025/1/9 23:34:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章代数基本概念
1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明:
对任意a,bG,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群.
2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知G为交换群.
3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
(1) a(bc)=(ab)c;
(2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]
设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有
akaiak aj------------<1> aiakaj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>
由<1>和<3>知对任意atG, 存在amG,使得
akam=at.
由<2>和<4>知对任意atG, 存在asG,使得
asak=at.
由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群,只要证明G内存在幺元(单位元),并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.
1
(Ⅰ) 证明G内存在幺元.
<1> 存在atG,使得a1at=a1.(这一点的证明并不难,这里不给证明); <2> 证明a1at= ata1; 因为
a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,
故此
a1(ata1)at= a1(a1at)at.
由条件(1),(2)可得到
a1at= ata1.
<3> 证明at就是G的幺元; 对任意akG,
a1(atak) =(a1at)ak=a1ak
由条件(2)可知
atak=ak.
类似可证
akat=ak.
因此at就是G的幺元.
(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆;
上面我们已经证明G内存在幺元,可以记幺元为e,为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG,存在bG,使得
ab=ba=e.
<1> 对任意aG,存在bG,使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
<2