内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:55:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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离散数学11春图论部分综合练习辅导
大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法．
图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等．
本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要容的学习．
下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目． 一、单项选择题
单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目．
第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目．
1．设图G＝
C．?deg(v)?2E D．?deg(v)?E
v?Vv?V该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况．复习握手定理： 定理3.1.1 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则
?deg(v)?2|E|
v?V也就是说，无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍． 正确答案：C
2．设无向图G的邻接矩阵为
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?0?1??1??0??01100?0011??0000?，
?1001?1010??则G的边数为( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位．大家要复习邻接矩阵的定义，要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10?2=5条边． 正确答案：B
3．如右图所示，以下说确的是 ( ) ．
A．{(a, e)}是割边 B．{(a, e)}是边割集
C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集 D．{(d, e)}是边割集
先复习割边、边割集的定义：
定义3.2.9 设无向图G=
e ? a ? ? b
? c
? d
E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）
因为删除答案A或B或C中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案A、B、C是错误的．
正确答案：D
4．图G如由图所示，以下说确的是 ( )．
A．a是割点 B．{b, c}是点割集
C．{b, d}是点割集 D．{c}是点割集
主要是检查对点割集、割点的概念理解的情况．
定义3.2.7 设无向图G=
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b ? a ? ? c
? d
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V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．
从图二中删除结点b, c，得到的子图是由不连通图，而只删除结点b或结点
c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c}是点割集．所以 正确答案：B
5．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的是( )．
A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的
C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的 我们先复习强连通的概念：
定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；
若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的． 正确答案：A
问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？ 请大家要复习“弱连通”的概念．
6．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当（ ）时，Kn中存在欧拉回路．
A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数 我们先复习完全图的概念：
定义3.1.6 简单图G=
由定义可知，完全图Kn中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数．
由定理4.1.1的推论
一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．
所以，正确答案应该是C．
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7．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．
A．平面图 B．对偶图 C．欧拉图 D．连通图 我们先复习汉密尔顿图的概念：
定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；
具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．
由定义可知，汉密尔顿图是连通图． 所以，正确答案应该是D．
问：汉密尔顿图为什么不一定是欧拉图吗？
8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理．
定理4.3.2（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则欧拉公式v-e+r =2成立．
由欧拉公式v-e+r =2，得到r = e- v+2．
所以，答案A是正确的．
9．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．
A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路．
可以运用教材中的定理5.1.1，可以作出正确选择．因为定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1，其中e是边数，v是结点数．也就是说：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1． 正确答案：A
注：由上面的树的等价定义可知，结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树．
10．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，
T的树叶数为（ ）．
A．8 B．5 C．4 D．3 正确答案：B
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设无向树T的树叶数为x，因为树叶是度数为1的结点．
那么，由定理3.1.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则
v?V?deg(v)?2|E|
得 4+3+2+x=2（8-1），即x=5．应选择B．
下面的容主要是第5次形考作业的部分题目．
二、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 ．
也是检查大家对握手定理掌握的情况．
因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即?deg(v)?1?1?2?2?3?3?4?4?30，根据握手定理，边数有
v?V E?30/2?15．
应该填写：15
2．设给定图G (如右图所示)，则图G的点割集是 ．
本题还是检查大家对点割集、割点的概念理解的情 况．
a ? f ? ? e ? b ? c ? d
点割集、割点的定义前面已经复习了，从图G中删除结点f，得到的子图是不连通图，即结点集{f}是点割集；同样，从图G中删除结点c，e，得到的子图也是不连通图，那么结点集{c, e}也是点割集．而删除其他结点集都没有满足点割集、定义的集合，所以 应该填写：{f}、{c, e}
3．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 ． 由定理4.1.1的推论
一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．
应该填写：结点度数都是偶数
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