内容发布更新时间 : 2025/6/13 14:29:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
证明：（1）令f(x)?arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。
（2）令
f(x)?ex(x?1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，
x∴由拉格朗日中值定理，得e∵1?ξ（3）令
?e ?eξ(x?1)，
?x，∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e，从而当 x?1时，ex?ex。
f(x)?ln(1?x)(x?0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x， 1?ξ∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵0?ξ?x，∴
1x?x，即x?0， ln(1?x)?x。 1?ξ（4）令
f(x)?lnx(x?0)，∵f(x)在[x,1?x]上连续，在(x,1?x)内可导，
11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?， xξ。
∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵x?ξ?1?x，∴
1111?，即当x?0时，ln(1?)?ξ1?xx1?x★★12.证明等式：2arctanx?arcsin2x?π(x?1).
1?x2知识点：f?(x)?0?f(x)?C（C为常数）。
思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f?(x)?0
2x(x?1)，
1?x2当x?1时，有2arctan1?arcsin1?π；当x?1时，有
证明：令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??21?x12(1?x2)?2x?2x212?2x2 ????22222(1?x)1?x1?x(1?x)2x21?()1?x2；
22?(?)?0，∴f(x)?C?f(1)??1?x21?x22x∴2arctanx?arcsin?π(x?1)成立。 21?x?★★★13.证明：若函数
f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。
知识点：f?(x)?0?f(x)?C 思路：因为 f(x)?e?ex?xf(x)?1，所以当设F(x)?e?xf(x)时，只要证F?(x)?0即可 f(x)，
证明：构造辅助函数F(x)?e则F?(x)?x?e?xf?(x)?e?xf(x)?0；
?x∴F(x)?e∴
f(x)?C?F(0)?1
f(x)?ex。
★★★14.设函数
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有
f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ，
试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f??(ξ)?0。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析
各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1使得又
?(a,c)、ξ2?(c,b)，
f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0，f?(ξ1)??0；
c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)， f??(ξ)?f?(ξ2)?f?(ξ1)?0。
ξ2?ξ1f(b?)/A,试证明f(x)在
使得
★★★15.设
?f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??