内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:12:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
证明：（1）令f(x)?arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。
（2）令
f(x)?ex(x?1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，
x∴由拉格朗日中值定理，得e∵1?ξ（3）令
?e ?eξ(x?1)，
?x，∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e，从而当 x?1时，ex?ex。
f(x)?ln(1?x)(x?0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x， 1?ξ∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵0?ξ?x，∴
1x?x，即x?0， ln(1?x)?x。 1?ξ（4）令
f(x)?lnx(x?0)，∵f(x)在[x,1?x]上连续，在(x,1?x)内可导，
11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?， xξ。
∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵x?ξ?1?x，∴
1111?，即当x?0时，ln(1?)?ξ1?xx1?x★★12.证明等式：2arctanx?arcsin2x?π(x?1).
1?x2知识点：f?(x)?0?f(x)?C（C为常数）。
思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f?(x)?0
2x(x?1)，
1?x2当x?1时，有2arctan1?arcsin1?π；当x?1时，有
证明：令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??21?x12(1?x2)?2x?2x212?2x2 ????22222(1?x)1?x1?x(1?x)2x21?()1?x2；
22?(?)?0，∴f(x)?C?f(1)??1?x21?x22x∴2arctanx?arcsin?π(x?1)成立。 21?x?★★★13.证明：若函数
f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。
知识点：f?(x)?0?f(x)?C 思路：因为 f(x)?e?ex?xf(x)?1，所以当设F(x)?e?xf(x)时，只要证F?(x)?0即可 f(x)，
证明：构造辅助函数F(x)?e则F?(x)?x?e?xf?(x)?e?xf(x)?0；
?x∴F(x)?e∴
f(x)?C?F(0)?1
f(x)?ex。
★★★14.设函数
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有
f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ，
试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f??(ξ)?0。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析
各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1使得又
?(a,c)、ξ2?(c,b)，
f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0，f?(ξ1)??0；
c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)， f??(ξ)?f?(ξ2)?f?(ξ1)?0。
ξ2?ξ1f(b?)/A,试证明f(x)在
使得
★★★15.设
?f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)(a,b)内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可
以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵f??(a)?lim?f(x)?f(a)?0，由极限的保号性知，
x?ax?ab-af(x)?f(a)???(a,δ1)（不妨设δ1?），对于?x???(a,δ1)，均有?0，
2x?a???(a,δ1)，使得
f(x1)?f(a)?0，∴得f(x1)?f(a)?A；
x1?af(x2)?f(b)b-a?0， ），使得
x2?b2特别地，?x1同理，由
f??(b)?0,得?x2???(b,δ2)（δ2?从而得又∵∵
f(x2)?f(b)?A；
f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ?(x1,x2)使得f(ξ)?A；
f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且f(a)?f(ξ)?f(b)?A，
?(a,ξ)、ξ2?(ξ,b)，使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?0，结论成立。
∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1★★★16.设
f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，试证明存在唯一的c,a?c?b，使得
f?(c)?f(b)?f(a)。
b?a知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。
思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的
单调性得出结论。
证明：存在性。
∵
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点c?(a,b)，使得
f?(c)?f(b)?f(a)。
b?af(b)?f(a)，
b?a唯一性的证明如下：
方法一：利用反证法。假设另外存在一点d?(a,b)，使得f?(d)?又∵
f?(x)在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）内可导，
?(c,d)?(a,b)（或ξ?(d,c)?(a,b)），使得f??(ξ)?0，
∴由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ这与
f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0矛盾。从而结论成立。
方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，∴f?(x)在[a,b]单调递增，
从而存在存在唯一的c?(a,b)，使得
★★★17.设函数
f?(c)?f(b)?f(a)。结论成立。
b?ay?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数，且
f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,试用柯西中值定理证明：
f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。
n!xn知识点：柯西中值定理。
思路：对f(x)、g(x)?x在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵f(x)、g(x)?x及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导，
且在(0,x)每一点处，g(n?1)nn(x)?n!x?0，又f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,，
∴连续使用n次柯西中值定理得，
f(x)f(x)?f(0)f?(?1)f?(ξ1)?f?(0)?n???xnx?g(0)n?1n?1nξ1n?1?g?(0)f(n)(θx)?(0?θ?1)，从而结论成立。
n!习题3-2
★★1.用洛必达法则求下列极限：
f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(0) ?(n?1)n!ξn?1?g(0)1ln(1?)e?elnsinxsinx?sinax；
（1） lim； （2） lim； （3）lim； （4）lim2πx?0x?ax???arccotxsinxx-ax?(π-2x)x?x2x3?1?lnxlntan7x（5）lim； （6）limx?1x??0lntan2xex?e1； （7） limtanx?xx?0x-sinx； （8）limx?0xcot2x；
（9） limx?0xex22； （10）lim11x1x(e?1)； （11） （12）lim(?x)；lim(?)；x??x?0xx?1x-1lnxe?11xex?ln(1?x)?1ax1tanxsinx（13）lim(1?)； （14）limx； （15）lim()； （16）lim；
??x?0x??x?0x?0x-arctanxxx1x1n22lim(1?sinx)；（17） （18）lim(ln)； （19）lim(x?1?x)x； （20）lim(ntan)。
?x?0x???x?0?n???xn知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：
1x100型与
?型未定?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与0??型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
0?0ex?e?xex?e?x?lim?2； 解： （1） limx?0x?0sinxcosx （2） limsinx?sinacosx?lim?cosa；
x?ax?ax?a1cosxlnsinxsinx?limcosx?lim?sinx??1；
（3）lim?lim2ππππ88x?(π?2x)x?4(2x?π)x?4(2x?π)x?222211?ln(1?)1?x2x(x?1)x?lim?lim?1； （4）limx???arccotxx???x???x(x?1)1?1?x27sec27xlntan7x7cos22x?tan2xtan7x?lim?lim?1； （5）limx??0lntan2xx??02sec22xx??0tan7x?2cos27xtan2xx3?1?lnx（6）lim?limx?1x?1ex?e3x2?1x?4；
eextanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2； （7） limx?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0cos3xsinx（8）limx?0xcot2x?limx11； ?lim?x?0tan2xx?02sec22x2111（9） limx?0x2ex22x21?e23ex2?lim?limx?limex???； x?01x?0x?02?3x2x1u?1x2（或解为：limxx?02x2eeueu?lim?lim???） u???uu???11x11?2ex11(e?1)?limx?limex?1； （10）limx(ex?1)?limx??x??x??x??11?2xx1（或解为：∵当x??时，e?1~x1xe1/x?11/x?lim?1） ，∴limx(e?1)?limx??x??1/xx??1/x1x