内容发布更新时间 : 2024/5/23 23:06:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
?x－4x－3?
?min. ∴a≤?3
x??
2
x2－4x－3
仍设φ(x)＝，
x3
?x－9??x＋1?
φ′(x)＝－
x4
.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0， 当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值． 1＋4－3
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，
－1∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2. 4．②
解析 f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
23
23
23
x∈(0，)时，f′(x)<0；x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f()5
＝>0，则 9
f(x)的大致图象如图1所示．不符合题意，排除①③.
图1
43
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－)时，
323
f′(x)<0，x∈(－，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意
2
f(0)＝1，f(－)＝－，则f(x)的大致图象如图2所示．
3254
图2
不符合题意，排除④. 热点分类突破 例1 (1)1 (2)3
解析 (1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. (1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1.
(2)f′(x)＝3ax2＋3，由题设得f′(1)＝－6，所以3a＋3＝－6，a＝－3.所以f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6.
1
所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×6＝3.
2跟踪演练1 4
解析 设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A处
x0
的切线的斜率为－＝－，
kOAy0
1
又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，
2
所以(－)·3ax0＝－1，即y0＝3ax30，
x0
y0
3
又ax3＝y－1，所以y＝， 000
251
代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，
2213
将x0＝±，y0＝代入
22
y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.
?6x＋a?ex－?3x2＋ax?ex例2 解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝
?ex?2－3x2＋?6－a?x＋a＝，
ex因为f(x)在x＝0处取得极值，
所以f′(0)＝0，即a＝0.
3x－3x＋6x33
当a＝0时，f(x)＝x，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从xeeee33
而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
ee－3x2＋?6－a?x＋a(2)由(1)知f′(x)＝.
ex令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
6－a－a2＋36
由g(x)＝0，解得x1＝，
66－a＋a2＋36x2＝.
6
当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0， 故f(x)为减函数；
当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0， 故f(x)为增函数；
当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0， 故f(x)为减函数．
6－a＋a2＋36
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，
6
2
2