内容发布更新时间 : 2025/5/20 9:05:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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解得a≥－，
2
?9?
故a的取值范围为?－，＋∞?.
?2?
1
跟踪演练2 (1)(0,1] (2)(－，＋∞)
9
解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由
1
f′(x)＝x－≤0，解得0
x(2)对f(x)求导， 得f′(x)＝－x2＋x＋2a 11
＝－(x－)2＋＋2a.
24
2
当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为
322
f′()＝＋2a.
3921令＋2a>0，解得a>－. 99
1
所以a的取值范围是(－，＋∞)．
9
例3 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
p2px2－2x＋pf′(x)＝p＋2－＝.
xxx2
由条件知f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立， 2x即p≥2恒成立．
x＋1
2x2x2x而2≤＝1，当x＝1时等号成立，即2的最大值为1， x＋12·x·1x＋1所以p≥1，即实数p的取值范围是[1，＋∞)． (2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则已知等价于
h(x)>0在[1，e]上有解，
即等价于h(x)在[1，e]上的最大值大于0.
p22e因为h′(x)＝p＋2－＋2
xxxpx2＋p＋2?e－x?＝>0，
x2
所以h(x)在[1，e]上是增函数，
所以h(x)max＝h(e)＝pe－－4>0，
e
p解得p>
4e
. 2
e－1
4e
，＋∞)． e－1
2
所以实数p的取值范围是(
(3)已知条件等价于f(x)max>g(x)min.
当p≥1时，由(1)知f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2.
e
1±1－p2
p当0
p，
可知f(x)在(1，
1＋1－p2
p)上是减函数，在(
1＋1－p2
p，e)上是增函数．
若f(x)max＝f(1)＝0，由于g(x)min＝2，所以此时无解．
所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2>0.
e
p综上可知，应用pe－－2>2，
e4e
解得p>2.
e－1
4e
，＋∞)． e2－1
p所以实数p的取值范围是(
跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
－2ax＋ax＋1
22
f′(x)＝
x.
因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以f′(1)＝1＋a－2a＝0， 1
解得a＝－(舍去)或a＝1.
2
经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以a＝1.
(2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0； 当a>0时，
?2ax＋1??－ax＋1?
2
令f′(x)＝
x1
＝0，得 <