内容发布更新时间 : 2025/5/3 5:13:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
9
解得a≥-,
2
?9?
故a的取值范围为?-,+∞?.
?2?
1
跟踪演练2 (1)(0,1] (2)(-,+∞)
9
解析 (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由
1
f′(x)=x-≤0,解得0
x(2)对f(x)求导, 得f′(x)=-x2+x+2a 11
=-(x-)2++2a.
24
2
当x∈[,+∞)时,f′(x)的最大值为
322
f′()=+2a.
3921令+2a>0,解得a>-. 99
1
所以a的取值范围是(-,+∞).
9
例3 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),
p2px2-2x+pf′(x)=p+2-=.
xxx2
由条件知f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立, 2x即p≥2恒成立.
x+1
2x2x2x而2≤=1,当x=1时等号成立,即2的最大值为1, x+12·x·1x+1所以p≥1,即实数p的取值范围是[1,+∞). (2)设h(x)=f(x)-g(x),则已知等价于
h(x)>0在[1,e]上有解,
即等价于h(x)在[1,e]上的最大值大于0.
p22e因为h′(x)=p+2-+2
xxxpx2+p+2?e-x?=>0,
x2
所以h(x)在[1,e]上是增函数,
所以h(x)max=h(e)=pe--4>0,
e
p解得p>
4e
. 2
e-1
4e
,+∞). e-1
2
所以实数p的取值范围是(
(3)已知条件等价于f(x)max>g(x)min.
当p≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上是增函数,
所以f(x)max=f(e)=pe--2.
e
1±1-p2
p当0
p,
可知f(x)在(1,
1+1-p2
p)上是减函数,在(
1+1-p2
p,e)上是增函数.
若f(x)max=f(1)=0,由于g(x)min=2,所以此时无解.
所以f(x)max=f(e)=pe--2>0.
e
p综上可知,应用pe--2>2,
e4e
解得p>2.
e-1
4e
,+∞). e2-1
p所以实数p的取值范围是(
跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0,+∞),
-2ax+ax+1
22
f′(x)=
x.
因为x=1是函数y=f(x)的极值点, 所以f′(1)=1+a-2a=0, 1
解得a=-(舍去)或a=1.
2
经检验,当a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点, 所以a=1.
(2)当a=0时,f(x)=ln x,显然在定义域内不满足f(x)<0; 当a>0时,
?2ax+1??-ax+1?
2
令f′(x)=
x1
=0,得 </