内容发布更新时间 : 2025/4/8 23:16:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题2.1 函数及其表示
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).
知识点1.函数与映射的概念
(1)函数:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)映射:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
知识点2.函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法. 知识点3.函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)两个函数相等:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. 知识点4.分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同,则这种形式的函数叫做分段函数,它是一类重要的函数.
知识点5.复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))的内层函数.
考点一 求函数的定义域
【典例1】【2019年高考江苏】函数y?7?6x?x2的定义域是 . 【答案】 [-1,7 ]
【解析】由题意得到关于x的不等式,解不等式可得函数的定义域.
由已知得7?6x?x2?0,即x2?6x?7?0,解得?1?x?7,故函数的定义域为[-1,7 ]. 【方法技巧】
(1)求具体函数y=f(x)的定义域
(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况:
①已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域,可由g(x)∈A求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域;
②已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域,可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域. 【变式1】 (2018·江苏高考)函数f(x)=log2x-1的定义域为________. 【答案】{x|x≥2}
【解析】由log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2, 满足x>0,
所以函数f(x)=log2x-1的定义域为{x|x≥2}. 考点二 求函数的解析式
【典例2】(2019·河北唐山一中模拟)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.
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【答案】f(x)=x2+x,x∈R.
22【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1,
得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
??2a+b=b+1,
所以?