内容发布更新时间 : 2025/5/20 9:05:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
答案：T3空间
42、正规的T1空间称为 ；
答案：T4空间
43、完全正则的T1空间称为 ；
答案：T3.5空间或Tychonoff空间
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因
1为对任意A?Y，都有f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开
集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的. 2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( ) 答案:×
理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而
X,??T 1?T 2；
（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２； （３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1, ?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２； 综上有T1?T２也是X的拓扑．
21
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ） 答案:√ 理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续.
4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ） 答案:√
理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p?d(A)??.
?A??p????，即p?d?A?,从而
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ） 答案：×
理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所以有d?A??X?A??. 6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ） 答案：√
理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域
X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所
以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得
22
A?B??,A?B?X（ ）
答案：√
理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然AB??，并且这时有:
B?B?X?(B?A)?(B?B)?B
从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( ) 答案：√
理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令
B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见
A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.
9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ） 答案：√
理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它