内容发布更新时间 : 2025/5/3 5:00:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
答案:T3空间
42、正规的T1空间称为 ;
答案:T4空间
43、完全正则的T1空间称为 ;
答案:T3.5空间或Tychonoff空间
三.判断(每题4分,判断1分,理由3分) 1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
答案:√
理由:设X是离散空间,Y是拓扑空间,f:X?Y是连续映射,因
1为对任意A?Y,都有f?(A)?X,由于X中的任何一个子集都是开
集,从而f?1(A)是?中的开集,所以f:X?Y是连续的. 2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑,则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( ) 答案:×
理由:因为(1)T 1,T 2是X的拓扑,故X,??T1,X,??T2,从而
X,??T 1?T 2;
(2)对任意的A,B?T1?T2,则有A,B?T1且A,B?T2,由于T1, T2是X的拓扑,故A?B?T1且A?B?T2,从而A?B? T1?T2; (3)对任意的T??T1?T2,则T??T1,T??T2,由于T1, T2是X的拓扑,从而?U?T’U?T1, ?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T2; 综上有T1?T2也是X的拓扑.
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3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射( ) 答案:√ 理由:设f:X?Y是任一满足条件的映射,由于Y是平庸空间,它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集,从而f:X?Y连续.
4、设A为离散拓扑空间X的任意子集,则d?A??? ( ) 答案:√
理由:设p为X中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{p}是X的开子集,且有?p?d(A)??.
?A??p????,即p?d?A?,从而
5、设A为平庸空间X(X多于一点)的一个单点集,则d?A??? ( ) 答案:×
理由:设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X,且有y?X?(A?x),从而X?(A?x)??,因此x是A的一个凝聚点,但对于y的唯一的邻域X,有X?(A?y)??,所以有d?A??X?A??. 6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集,则d?A??X ( ) 答案:√
理由:对于任意x?X,因为A包含多于一点,从而对于x的唯一的邻域
X,且有X?(A?x)??,因此x是A的一个凝聚点,即x?d(A),所
以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间,则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得
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A?B??,A?B?X( )
答案:√
理由:设X是一个不连通空间,设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然AB??,并且这时有:
B?B?X?(B?A)?(B?B)?B
从而B是X的一个闭子集,同理可证A是X的一个闭子集,这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集,则X是一个不连通空间( ) 答案:√
理由:这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集,令
B?A?,则A,B都是X中的非空闭子集,它们满足A?B?X,易见
A,B是隔离子集,所以拓扑空间X是一个不连通空.
9、设拓扑空间X满足第二可数性公理,则X满足第一可数性公理( ) 答案:√
理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理,B是它的