内容发布更新时间 : 2024/12/29 12:52:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
π??
9．已知f(x)＝2sin?2x＋4?.
??(1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈
时，求函数f(x)的最大值和最小值．
πππ
[解](1)令2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2，k∈Z， 3ππ
得kπ－8≤x≤kπ＋8，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为
3ππ7π时，4≤2x＋4≤4，
，k∈Z.
(2)当x∈
π?2?2x＋?所以－1≤sin?≤4?2， ?所以－2≤f(x)≤1， 所以当x∈
时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2. 3
10．已知a＝(sin x，3cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b＋2. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
1
(2)若方程f(x)＝3在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 3
[解](1)f(x)＝a·b＋2
3＝(sin x，3cos x)·(cos x，－cos x)＋2 3＝sin x·cos x－3cos2x＋2 π?13?
＝2sin 2x－2cos 2x＝sin?2x－3?.
??
ππ5πk
令2x－3＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝12＋2π(k∈Z)，
5πk
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝12＋2π(k∈Z)． 5π
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝12对称， 5π
则x1＋x2＝6，
π??
1．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝2sin?ωx＋3?的图象的一个对称中心为
???π?
?3，0?，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，??则|x1－x2|的最小值是( )
A．1 C．2
π
B.2 D．π
π?π??π?ωx＋，0????B [因为函数f(x)＝2sin3?的图象的一个对称中心为?3?，所以3ω＋?π
3＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的
Tππ
最小值为函数的半个周期，即2＝ω＝2.] 2．已知函数f(x)＝|cos x|·sin x，给出下列四个说法： 3?2 020π?①f?3?＝－4；②函数f(x)的周期为π； ??
?ππ??π?
③f(x)在区间?－4，4?上单调递增；④f(x)的图象关于点?－2，0?中心对称
????其中正确说法的序号是( ) A．②③ C．①④
B．①③ D．①③④
B [f(x＋π)＝|cos(x＋π)|sin(x＋π)＝－|cos x|sin x，所以函数f(x)的周期不为π，②错．
f(x＋2π)＝|cos(x＋2π)|sin(x＋2π)＝|cos x|sin x，周期为T＝2π. 3?2 020π??4π??4π?4π
f?3?＝f?3?＝?cos3?sin3＝－4，①对． ??????
1?ππ??ππ?当x∈?－4，4?时，f(x)＝cos xsin x＝2sin 2x,2x∈?－2，2?，所以f(x)在
????1?3π?1?ππ??π?
?－4，4?上单调递增，③对．f?－4?＝－，f?－4?＝－，所以④错．即①③对，
2?2?????故选B.]
2π??
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?0＜φ＜3?的最小正周期为π.
??(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
?π3?
(2)若f(x)的图象过点?，?，求f(x)的单调递增区间．
?62?
2π
[解] 由f(x)的最小正周期为π，则T＝ω＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对?x∈R都成立，
2ππ
所以cos φ＝0.因为0＜φ＜3，所以φ＝2. 3?π?
(2)因为f?6?＝2，
??
π3πππ2π??2×＋φ?所以sin?＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝63333＋2kπ(k∈Z)， ??2π
故φ＝2kπ或φ＝3＋2kπ(k∈Z)， 2ππ
又因为0＜φ＜3，所以φ＝3， π??2x＋即f(x)＝sin?， 3???
πππ
由－2＋2kπ≤2x＋3≤2＋2kπ(k∈Z) 5ππ
得kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)，
5ππ??
故f(x)的递增区间为?kπ－12，kπ＋12?(k∈Z)．
??
1．设函数f(x)＝sin
，若方程f(x)＝a恰好有三
个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则2x1＋3x2＋x3的值为( )