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【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第3
节 椭圆及其性质高考AB卷 理
椭圆的定义及其方程
x2y23
1.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，
ab3
过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为( ) A.＋＝1
32C.
x2y2x2
12
B.＋y＝1 3D.
＋＝1 124
x2
2
＋＝1 8
y2x2y2
解析 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3.又e＝程为＋＝1，故选A.
32答案 A
3222
，∴c＝1.∴b＝a－c＝2，∴椭圆的方3
x2y2
x2y2
2.(2013·全国Ⅰ，10)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交
abE于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.C.
＋＝1 4536＋＝1 2718
x2x2
y2y2
B.D.
＋＝1 3627＋＝1 189
x2x2
y2
y2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，
??∴?xy??a＋b＝1 ②
2
22
222
x2y211
2＋2＝1， ①ab
①－②，得
（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
＋＝0， 22abb2（y1＋y2）（y1－y2）
即2＝－， a（x1＋x2）（x1－x2）
∵AB的中点为(1，－1)，
1
∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
y1－y20－（－1）1b21而＝kAB＝＝，∴2＝. x1－x23－12a2
又∵a－b＝9，∴a＝18，b＝9. ∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.
189答案 D
3.(2012·大纲全国，3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为( ) A.
＋＝1 1612
2
2
2
2
x2y2
x2y2
B.D.
＋＝1 128＋＝1 124
x2x2
y2y2
C.＋＝1 84
解析 ∵2c＝4，∴c＝2.
x2y2
a22222
又∵＝4，∴a＝8，b＝a－c＝4.
c∴椭圆方程为＋＝1，故选C.
84答案 C
椭圆的几何性质
x2y2
x2y2
4.(2016·全国Ⅲ，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，Bab分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1A. 32C. 3
解析 设M(－c，m)，则E?0，
1B. 23D. 4
??
am?am?0，?，又B，D，M，OE的中点为D，则D???a－c??2（a－c）?
mm1
三点共线，所以＝，a＝3c，e＝. 2（a－c）a＋c3
答案 A
x2y23a5.(2012·全国，4)设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上
ab2
一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
2
1A. 23C. 4
3a解析 设直线x＝与x轴交于点M，
2
2B. 34D. 5
则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，
3a－c3aF2M21c33F2M＝－c，故cos 60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝. 2PF22c2a44答案 C
x2y2
6.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)
t3
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围. 解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0. 当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).
43由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y－12y＝0，
431212
解得y＝0或y＝，所以y1＝. 77
11212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
27749
π. 4
x2y2
x2y2
2
x2y2
(2)由题意t>3，k>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得(3
t3t2k2－3tt（3－tk2）
＋tk)x＋2t·tkx＋tk－3t＝0.由x1·(－t)＝， 2得x1＝2
3＋tk3＋tk2
2
2
22
6t（1＋k）
故|AM|＝|x1＋t|1＋k＝. 2
3＋tk2
2
3