内容发布更新时间 : 2024/11/7 16:38:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
9.??(5)?4,由定理知,k?1(mod5)(1?k?4).令n?4q?r,0?r?3,则1?2?3?4?(1)?1?(2)?2?(3)?3?(4)?4nnnn4qr4qr4qr4qr4证明：?1r?2?3?4(mod5).nnnnrrrrrrr
rrrrnnnn?若5?|1?2?3?4,即得5?|1?2?3?4,?把r?0,1,2,3代入检验可知r?0,?4n;?若4n,则r?0,易知5?|1?2?3?4,?5?|1?2?3?4.10. 设m是正整数,(a,m)?1,证明:x?ba?(m)?1(modm)是同余方程ax?b(modm)的解.
10.?(a,m)?1,由Euler定理,则a?(m)?1(modm).证明：?ax?b?a?(m)b(modm),?(a,m)?1,?x?a?(m)-1
p-1b(modm).211. n是模p的二次非剩余的充要条件是n11.若(n,p)?1,则由Euler定理,np?1p?1p-1??1(modp).(10分)
?1(modp),?(n2?1)(n2?1)?0(modp),p?1p?12证明：?p是素数,则n?1?0(modp)或n2p-1?1?0(modp)中必有一个成立,
2?n是模p的二次剩余的充要条件是np?1?1(modp),?n2??1(modp).12. 设y?a1(modp),y?a2(modp)都是模p的平方剩余,
y?b1(modp),y?b2(modp)都是模p的平方非剩余.
求证:y?a1a2(modp),y?b1b2(modp)都是模p的平方剩余,y?a1b1(modp)是模p的平方非剩余.12.由定理1知,p?1p?1p?12p?1(10分)
证明：
a12?a22?1(modp),b1p?1p?1?b22??1(modp),p?12
?(a1a2)?得证.2?(b1b2)2?1(modp),(a1b1)??1(modp),13. 设p,q为两个形如4n?3的奇质数,求证:若x?p(modq)无解,则x?q(modp)有两个解.(10分)
2213.证明:?p,q均为形如4n?3的数,?又?x?p(modq)无解,?(22p?1q-1,均为奇数,22qp)?(-1)p?1q-1?22pq)??1,则((pq)??(pq)?1.22?x?q(modp)有解,设c是其一解,则因为c??-c(modp),且(-c)?c?q(modp), ?-c也是其一解,又因为二次同余方程至多有两个解,故x?q(modp)恰有两个解为?c.214. 设p是适合p?1(mod4)的素数,y?a(modp)是模p的平方剩余.
证明:y??a(modp)也是模p的平方剩余.(8分)
p?114.证明:令p?4k?1,由定理1知,ap?12?1(modp),
则(-a)2?1(modp).15. 设n是整数,证明:n2?1的任何奇因数都是4m?1的形式.(10分)
15.证明:由于奇数都可表示成奇素数之积,而且任意多个形如4m?1的整数之积也具有4m?1的形式.我们只需证明:若素数p是n?1的因数,则p具有4m?1的形式. 若p|n?1,则n??1(modp),即-1?QR(p),由以上推论知,p?4m?1.22216. 若p是素数,则同余方程xp-1?1(modp)有p-1个解.(8分)
16.证明:由费马定理(Fermat定理)可知,任意与p互质的数都是它的解.因此,这个同余方程恰好有p-1个不同的解,即x?1,2,3,?,p-1(modp).
17. 设N?an10?an-11023nn-1n???a1?10?a0,求证:9|N?9|?ai.(8
i?0n分)
17.?10?1,10?1,10?1,?,10?1(mod9),?N?an10?an?1105nn?1???a110?a0?an?an?1???a1?a0(mod9);
18. 求证:641|22?1.(8分)
18.?2?4,2?16,2?256,2?232248165?154,2?1.32??1(mod641),?1?0(mod641),?64122
19. 证明:若m,n?N,则?(mn)?(m,n)?([m,n]).(10分)
19.证明:易知mn与[m,n]有相同的素因数,设它们是pi(1?i?k).则?(mn)?mn(1-1p1)(1-1p11p2)?(1-1p21pk),1pk),?([m,n])?[m,n](1-?mn?(m,n)[m,n],)(1-)?(1-
??(mn)?(m,n)[m,n](1-1p1)(1-1p2)?(1-1pk)?(m,n)?([m,n]).20. 设p是素数,则对于任意的整数a,有ap?a(modp).(8分)
20.证明:若(a,p)?1,由Euler定理,a若(a,p)?1,则pa,?app?1?1(modp),(??(p)?p?1),?ap?a(modp).?0?a(modp),?结论成立