内容发布更新时间 : 2024/12/27 11:53:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
佛山科技学院自用教材 教育科学学院 王豫黔
第四章一般二次曲线与二次曲面
这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。
§4.1直角坐标变换
平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。
4.1.1平面直角坐标平移
设Oxy和O?x?y?是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P在坐标系Oxy中的坐标(x,y)和在坐标系O?x?y?中的坐标(x?,y?)有什么联系呢？
设O?在Oxy中的坐标为(x0,y0)，从点P向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出：
?x?x??x0 （4.1.1） ??y?y??y0这就是将原点O平移到O?(x0,y0)的坐标变换，其中(x,y)和(x?,y?)分别是平面上同一点
P在旧坐标系Oxy和新坐标系O?x?y?中的坐标。这种坐标变换叫做平移。如果用旧坐标表示
新坐标，那么有
?x??x?x0 （4.1.2） ???y?y?y0（4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。
yy'Myy'x'x图4-1-1
y0Ox0x'x
例1 用平移化简x?2x?4y?9?0，并画出它的图形。 解 原方程可以移项、配方成 (x?1)?4(y?2)
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将原点O移到O?(1,2)，即作平移：
?x??x?1 ??y?y?2?那么，在新坐标系O?x?y?中，方程简化成x??4y?。这是一条开口向上，焦参数为2的抛物线，如图4-1-2。
2yy'x'O'O图4-1-2
x
4.1.2平面直角坐标旋转
设坐标原点O不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度?得到一个新的坐标系
，那么平面上任意一点P的新、旧坐标之间的关系又如何呢？ Ox?y?（图4-1-3）
如图1.3所示，有
?x?OM?|OP|cos?MOP?|OP|cos(???) ??y?MP?|OP|sin?MOP?|OP|sin(???)利用两角和的三角展开式，我们有
?x?|OP|cos?cos??|OP|cos?sin? ?y?|OP|cos?sin??|OP|sin?cos??但x??OM??|OP|cos?,y??M?P?|OP|sin?，以此代入上面两个展开式中，即得
?x?x?cos??y?sin? （4.1.3） ???y?xsin??ycos??这就是转角为?的坐标旋转公式，其中(x,y)和(x?,y?)分别是平面上同一点P在旧坐标系Oxy和新坐标系Ox?y?中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出x?,y?，则得到
?x??xcos??ysin? （4.1.4） ??y??xsin??ycos??
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（4.1.3）和（4.1.4）都是旋转公式。
例2 把坐标系旋转45°，求曲线xy?8在新坐标系中的方程。
解 因为sin45??cos45??1，这时旋转公式（4.1.3）为 2?x?????y???代入所给的方程即得线。
1(x??y?)2
1(x??y?)2x??y?x??y??8，化简后就是x?2?y?2?16，这是一条等轴双曲
224.1.3平面上的一般直角坐标变换
我们现在来讨论一般坐标变换。
设平面上有坐标系Oxy，以平面另外一点O?为原点建立一个新的坐标系O?x?y?，这个坐标系坐标轴的方向与旧坐标系的方向成?角。那么这两个坐标系可以通过两步变换得到，先将坐标系Oxy的原点平移到O?得到一个坐标系O?x??y??，再将这个坐标系旋转?角得到坐标系
O?x?y?。假设O?在旧坐标系Oxy中的坐标为O?(x0,y0)，平面上任意一点P依次在Oxy、O?x??y??、O?x?y?中的坐标为(x,y)、(x??,y??)、(x?,y?)，那么有
?x?x???x0 ????y?y?y0?x???x?cos??y?sin? ?????y?xsin??ycos??从上面两组公式中消去x??,y??，则得到
?x?x?cos??y?sin??x0 （4.1.5） ???y?xsin??ycos??y0?如果要用旧坐标表示新坐标，从（4.1.5）中解出x?,y?，则得到
?x??(x?x0)cos??(y?y0)ysin? （4.1.6） ???y??(x?x0)sin??(y?y0)cos?例3 将坐标系Oxy平移到点O?(?1,2)，再旋转45°，写出新旧坐标之间的变换公式。 解 由（4.1.5）式，有
3
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?x?x?cos45??y?sin45??1 ????y?xsin45??ycos45??2即
?x?????y???由（4.1.6）有
1(x??y?)?12
1(x??y?)?2211(x?y)?22
13(?x?y)?22??x?????y???4.1.4空间直角坐标变换
1.空间直角坐标平移
将空间中的一点O1(x0,y0,z0)为原点建立坐标系O1?x?y?z?，那么空间中任意一点M在新旧坐标系中的坐标M(x,y,z)和M(x?,y?,z?)之间的关系为：
?x?x??x0??y?y??y0 （4.1.7） ?z?z??z0?或
?x??x?x0? ?y??y?y0?z??z?z0?2.空间直角坐标旋转
(4.1.7?)
在坐标系的原点，重新建立一个右手系的直角坐标架O?x?y?z?，那么空间中任意一点M在新旧坐标系中的坐标M(x,y,z)和M(x?,y?,z?)之间的关系为：
?x?t11x??t12y??t13y???y?t21x??t22y??t23y? （4.1.8） ?z?tx??ty??ty?313233?其中
?t11?T??t21?t?31是正交矩阵，且detT?1。逆变换公式为：
t12t22t32t13??t23? t33??4
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?x??t11x?t21y?t31y??y??t12x?t22y?t32y?z?tx??ty?ty132333?(4.1.8?)
习题4.1
1. 在坐标系平移后，旧坐标系中的点P(2,?1)在新坐标系中的坐标为P(?2,1)，求新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标。
2. 将坐标系Oxy旋转30°得到新坐标系Ox?y?，求 （1）旧坐标系中的点M(1,2)在新坐标系中的坐标； （2）新坐标系中的点N(3,?2)在旧坐标系中的坐标。
3. 椭圆的两焦点为F1(2,5),F2(2,?1)，长半轴为5，求这椭圆的方程。 4. 双曲线的两焦点为F1(?2,3),F2(?2,?7)，一个顶点为(?2,1)，求它的方程。 5. 抛物线的顶点为A(2,1)，焦点为F(2,?34)，求它的方程。 6. 求双曲线16x2?9y2?32x?18y?137?0的渐近线方程。
§4.2二次曲线方程在坐标变换下系数的变化
在中学学习的二次曲线方程是不含交叉项的二元二次方程
a2211x?a22y?2a13x?2a23y?a33?0
含有交叉项的二次曲线方程的一般形式为
F(x,y)?a211x?2a212xy?a22y?2a13x?2a23y?a33?0 （4.2.1）
记：
?x??a11a12a13?X???y??,X??(x,y,1),A??a???a21a2223?， ?1????a31a32a33??这里aij?aji;i,j?1,2,3;i?j，那么方程（4.2.1）可以利用矩阵运算的特征改写成?a11a12a13??(x,y,1)??aa??x???21a2223??y??0，即X?AX?0 (4.2.1?)
?a31a32a33????1??本节我们讨论坐标变换对一般二元二次方程系数的变化规律。
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