内容发布更新时间 : 2024/10/24 15:23:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数列
13 数列的通项（根据数列的递推关系求通项）
【考点讲解】
一、具体目标：
掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：
（1）如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即an?f?n?,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列?an?的前n项和Sn和通项an的关系：an??2.求数列的通项公式的注意事项：
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用??1?或
n(n?1)?S1.
S?S(n?2)n?1?n??1?n?1来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序
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号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。 3. 已知数列?an?的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a1?S1求出a1；
(2)用n?1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an?Sn?Sn?1 (n?2)便可求出当n?2时an的表达式； (3)对n?1时的结果进行检验，看是否符合n?2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n?1与n?2两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法：an?1?an?f(n)
a1?a?叠加法（或累加法）：已知?，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）
??a?a?fnn?n?1即an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1
.
?a1?aanan?1an?2aa??????3?2?a1 （2）累乘法：已知?an?1求数列通项公式用累乘法.an??f?n?an?1an?2an?3a2a1? a?n（3）待定系数法：an?1?pan?q（其中p,q均为常数，(pq(p?1)?0)） 解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?nq，再利用换元法转化为等比数列求解. 1?pn（4）待定系数法： an?1?pan?q（其中p,q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）. （或an?1?pan?rq,
其中p,q,r均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以qn?1，得：
anan?1pan1p1b?，令，得：，再按 b?b????nn?1nqnqqqn?1qqnq第（3）种情况求解.
，0，a?0) （5）待定系数法：an?1?pan?an?b(p?1
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解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，与已知递推式比较， 解出x,y,从而转化为?an?xn?y?是公比为p的等比数列. （6）待定系数法：an?1?pan?an?bn?c(p?0,1,a?0)
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?p(an?xn?yn?z)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为an?xn2?yn?z是公比为p的等比数列. （7）待定系数法：an?2?pan?1?qan（其中p,q均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)其中s,t满足?解.
（8）取倒数法：an?1?222???s?t?p，再按第（4）种情况求
?st??qg(n)an
f(n)an?t(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q，按第（3）种情况求解.
（g(n)an?t(n)an?1?f(n)anan?1?0，解法：等式两边同时除以an?an?1后换元转化为an?1?pan?q，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数an?1?pan(p?0,an?0)
解法：这种类型一般是等式两边取以p为底的对数，后转化为an?1?pan?q，按第（3）种情况求解. 5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．
(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． 类型一：取倒数法 已知函数f(x)?rx?,数列?an?满足a1?1,an?1?f(an)(n?N). 3x?1 (Ⅰ)求数列?an?的通项公式;
(Ⅱ)记Sn?a1a2?a2a3???anan?1,求Sn.
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【分析】由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn?1=4an+2，可由Sn?2－Sn?1作切入
点探索解题的途径． 【解析】（Ⅰ）由已知得，an?1?an，
3an?1∴1?1?3，即1?1?3 an?1anan?1an∴数列?1?是首项a1?1,公差d?3的等差数列.
???an?∴1?1?(n?1)?3?3n?2,
an故an?1(n?N?) 3n?2 (Ⅱ) ∵anan?1?1111
?(?)(3n?2)(3n?1)33n?23n?11?44?71 (3n?2)(3n?1)Sn?a1a2?a2a3???anan?1?1?1???111111?[(1?)?(?)???(?)] 34473n?23n?1类型二：
已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列.
n【解析】an?1?3an?2?3?1两边除以3n?1，
得
an?1an21， ???3n?13n33n?1an?1an21，用叠加法可得： ???n?1nn?13333则
1n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???331?3322?3n211则an??n?3n??3n?n?N??. ?322
类型三：
数列?an?满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an?0，求数列?an?的通项公式. 【解析】由an?2?3an?1?2an?0得an?2?an?1?2(an?1?an)?0
，
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即an?2?an?1?2(an?1?an），且a2?a1?5?2?3.
∴{an?1?an}是以2为公比，3为首项的等比数列.∴an?1?an?3?2n?1 利用逐差法可得an?1?(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)?a1
=3?2n?1?3?2n?2???3?20?2
?2n?2???2?1)?2
=3?(2n?11?2n?2 =3?1?2 =3?2?1
n?1∴an?3?2?1n?Nn???.
111????的值. a2?1a3?1a100?1类型四：已知数列?an?满足a1?a2???an?n3 ①求数列?an?的通项公式an；②求
【解析】本题主要考查的是利用恒等式中项与项数之间的关系，求数列的通项公式.
3①因为a1?a2???an?n, n?2时，a1?a2?L?an?1?(n?1)
3两式相减得：an?3n2?3n?1(n?2), 得n?1时，a1?1也适合上式， 故an?3n2?3n?1(n?N?)
②因为
11111??(?) （n≥2） an?13n(n?1)3n?1n所以
1111?111111?1133. ??L???(?)?(?)?L?(?)??(1?)?a2?1a3?1a100?13?122399100?3100100【真题分析】
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